ALGO-17_蓝桥杯_算法训练_乘积最大(DP)

问题描述 

　　今年是国际数学联盟确定的“——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

　　设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

　　同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

　　有一个数字串：， 当N=，K=1时会有以下两种分法：

　　*=
　　*=

　　这时，符合题目要求的结果是：*=

　　现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式 

　　程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（≤N≤，≤K≤）
　　第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式 

　　输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

　　样例输入

　　
　　
样例输出

记:

由于DP题目的解法仍不熟悉,故上网搜寻解题思路

(代码参考:https://blog.csdn.net/fine_rose/article/details/63685548)

参考代码:

 #include <stdio.h>
 #define MIN(X,Y) (X)<(Y)?(X):(Y)

 int n,k;
 long long num[] = {};
 long long dp[][] = {};/*可使用的数字,*号的个数*/

 long long cut(int l,int r)
 {
     int i;
     long long end = ;
     for (i = l ; i <= r ;i ++)
     {
         end = end* + num[i];
     }
     return end;
 }

 void init()
 {
     int i;
     char tmp[] = {};
     scanf("%d %d",&n,&k);
     scanf("%s",&tmp);
     for (i =  ; i <= n ; i ++)
     {
         num[i] = tmp[i-]-'';
     }
     for (i =  ; i <= n ; i ++)
     {
         dp[i][] = cut(,i);
     }
     return ;
 }

 void find()
 {
     int i,j;
     int a,b;

     for (i =  ; i <= n ; i ++)/*枚举能使用数字(1-i),(至少需要2数字才可添加*号)*/
     {
         j = MIN(i-,k);/*枚举在能使用数字中最多能放的*个数*/
         for (a =  ; a <= j ; a ++)/*枚举j个乘号情况下的数字分布*/
         {
             for (b = a ; b < i ; b ++)/*枚举在能使用数字内的不同组合*/
             {
                 if (dp[b][a-]*cut(b+,i) > dp[i][a])
                 {
                     dp[i][a] = dp[b][a-]*cut(b+,i);/*存放最大值*/
                 }
             }
         }
     }    

     return ;
 }

 int main(void)
 {
     init();
     find();
     printf("%lld",dp[n][k]);
     return ;
 }

在过完思路后,可以发现由于会遍历不同长度下的可能结果,而我们仅仅是要长度为n时的最大乘积,显然程序做了大量的无用功

而到这里，思路也有所启发

从题目中，我们可以得到的隐藏条件是n>1,且n>k

而题目的样例输入

4 2

1231

指两个乘号,放在4个数据中间(左右两端不能放),那么

第一个乘号的可能出现位置为:1*2*3*1

第二个乘号的可能出现位置为:12*3*1 (至少已放了一个乘号)

显然，后面的乘号出现位置与前面的乘号的位置有关系，可以通过标记摆放乘号，并用递归遍历不同的乘号(dfs)

这样，我们就可以得到一种情况下的数字分割

通过查乘号的出现位置，完成数字之间的相乘，并比较最大值，将最大值保存

改进代码:

 #include <stdio.h>
 #define MAX 46

 int n,k;
 long long num[MAX] = {};/*每一位的数据存储*/
 int vis[MAX] = {};    /*每一位乘号的使用标记*/
 long long max = ;        /*最大值存储*/

 void init()
 {
     int i;
     char tmp[MAX] = {};
     scanf("%d %d",&n,&k);
     scanf("%s",&tmp);
     for (i =  ; i <= n ; i ++)
     {
         num[i] = tmp[i-]-'';
     }
     return ;
 }

 long long cut(int l,int r)
 {
     int i;
     long long end = ;
     for (i = l ; i <= r ;i ++)
     {
         end = end* + num[i];
     }
     return end;
 }

 void dfs(int x)
 {
     /*隐藏条件:N>1,N>K*/
     int i;
     int a,b;/*乘号分割下的数字左右下标*/
     long long tmp;

     if (x > k)/*乘号使用完毕*/
     {
         a = ,b = ;
         tmp = ;
         /*计算该次搜索中的数字分割后的乘积*/
         for (i =  ; i < n ; i ++)
         {
             if (vis[i])
             {
                 b = i;
                 tmp *= cut(a+,b);
                 a = b;
             }
         }
         tmp *= cut(a+,n);
         if (tmp > max)
         {
             max = tmp;
         }
         return ;
     }

     for (i = x ; i < n ; i ++)/*遍历不同位置的乘号*/
     {
         if (!vis[i])/*当前位置的乘号未使用*/
         {
             vis[i] = ;
             dfs(x+);
             vis[i] = ;
         }
     }

     return ;
 }

 int main(void)
 {
     init();
     dfs();
     printf("%lld",max);
     return ;
 }