4815: [Cqoi2017]小Q的表格 莫比乌斯反演 分块

(Updated 2018.04.28 : 发现公式效果不好，重新处理图片)
国际惯例的题面:

看到这两个公式，很多人都会想到与gcd有关。没错，最终的结论就是f(a,b)=f(gcd(a,b))*(a/gcd(a,b))*(b/gcd(a,b))。然而结论只能猜出来是不行的，我们考虑如何证明他。
网上很多大神的构造性证明已经很清楚了，然而我太菜，不会构造，让我们来一发非构造性证明。

由于:

我们设x=a+b，则b=x-a，显然我们有前提条件x≠a。
用x替换b，得:

我们移项，得:

如果x≥2*a，我们可以继续迭代:

如果我们让上面两个等式相乘，会发现:

显然迭代下去，我们会有:

如果x=p*a，我们令k=p-1，我们有:

如果我们令k=(x/a)(下取整)，我们有:

然而我们现在连右边那个东西能否整除都不知道……没关系，继续展开等式。

我们看到了一个非常愉悦的事情:两个x%a约掉了。
仔细观察，会发现分子上的东西是f的第二个参数的连乘积，分母上的东西是f的第二个参数取模第一个参数的连乘积(废话)。
考虑我们一直迭代下去，最终会剩下什么。
迭代终止的条件是x%a=0，这时候我们带入前面推出x=p*a时适用的公式，的那个这样会剩下分子的前两项和分母的最后两项。
显然分子剩下的前两项为x和a，分母剩下的最后一项为gcd(a,b)，而根据上面迭代的等式，分母的倒数第二项为倒数第二次带入f()的第一个参数，显然也是gcd(a,b)。
至此我们的结论得证(一个证明搞这么麻烦，我好蒻啊)。

然后就是计算的问题。
我们要求的是:

如果我们能够预处理出g()，O(sqrt(n))修改并O(1)查询f()的前缀和，我们就能在sqrt(n)的复杂度内完成每次操作。
显然维护f()直接大力块状数组即可，重点是g()。

这里有一个很优美的结论，就是

然后我们就有:

之后线性筛φ就好了。

代码(老年选手已经毫不畏惧卡常数):

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define bool unsigned char
 #define debug cout
 typedef long long int lli;
 const int maxn=4e6+1e2,maxb=2e3+1e2;
 const int mod=1e9+;

 lli phi[maxn];
 int n,m;

 inline lli fastpow(lli base,int tim) {
     lli ret = ; base %= mod;
     while(tim) {
         if( tim &  ) ret = ret * base % mod;
         if( tim >>=  ) base = base * base % mod;
     }
     return ret;
 }
 inline int gcd(int x,int y) {
     register int t;
     while( ( t = x % y ) ) x = y , y = t;
     return y;
 }

 namespace Pre {
     inline void sieve() {
         static int prime[maxn],cnt;
         static bool vis[maxn];
         phi[] = ;
         for(int i=;i<=n;i++) {
             if( !vis[i] ) prime[++cnt] = i , phi[i] = i - ;
             for(int j=;j<=cnt&&(lli)i*prime[j]<=n;j++) {
                 const int tar = i * prime[j];
                 vis[tar] = ;
                 if( i % prime[j] ) phi[tar] = phi[i] * ( prime[j] -  );
                 else {
                     phi[tar] = phi[i] * prime[j];
                     break;
                 }
             }
         }
         for(int i=;i<=n;i++) phi[i] = ( phi[i] * i % mod * i % mod + phi[i-] ) % mod;
     }
 }

 struct BlockedArrary {
     lli dat[maxn],sumins[maxn],blk[maxb],sumblk[maxb];
     int bel[maxn],st[maxb],ed[maxb],blksiz,cnt;

     inline lli query(int pos) {
         return pos ? ( sumblk[bel[pos]-] + sumins[pos] ) % mod : ;
     }
     inline void update(int pos,lli val) {
         dat[pos] = val;
         int id = bel[pos] , l = st[id] , r = ed[id];
         sumins[l] = dat[l]; for(int i=std::max(pos,l+);i<=r;i++) sumins[i] = ( sumins[i-] + dat[i] ) % mod;
         blk[id] = sumins[r]; for(int i=id;i<=cnt;i++) sumblk[i] = ( sumblk[i-] + blk[i] ) % mod;
     }
     inline void init() {
         for(int i=;i<=n;i++) dat[i] = (lli) i * i % mod;
         blksiz = std::sqrt(n);
         for(int l=,r;l<=n;l=r+) {
             r = std::min( l + blksiz -  , n ) , ++cnt , st[cnt] = l , ed[cnt] = r , sumins[l] = dat[l];
             for(int i=l;i<=r;i++) bel[i] = cnt;
             for(int i=l+;i<=r;i++) sumins[i] = ( sumins[i-] + dat[i] ) % mod;
             sumblk[cnt] = ( sumblk[cnt-] + ( blk[cnt] = sumins[r] ) ) % mod;
         }
     }
 }ba;

 inline void update(int a,int b,lli d) {
     int g = gcd(a,b);
     lli tv = d % mod * fastpow((lli)a*b/g/g,mod-) % mod;
     ba.update(g,tv);
 }

 inline lli query(int k) {
     lli ret = ;
     for(int i=,j;i<=k;i=j+) {
         j = k / ( k / i );
         ret = ( ret + ( ba.query(j) - ba.query(i-) + mod ) % mod * phi[k/i] % mod ) % mod;
     }
     return ret;
 }

 int main() {
     static int a,b,k;
     static lli x;
     scanf("%d%d",&m,&n) , Pre::sieve() , ba.init();
     while(m--) scanf("%d%d%lld%d",&a,&b,&x,&k) , update(a,b,x) , printf("%lld\n",query(k));
     return ;
 }

過去の想い 記憶の彼方
过往的思念 记忆中的远方
幼き日 残した悔い
稚气时光中 所留下的懊悔
胸の奥 刻む針音(しんおん)
内心深处 铭刻下心音
心だけ 置き忘れたまま
让它留在心里慢慢被遗忘吧