bzoj 2216 Lightning Conductor - 二分法 - 动态规划

题目传送门

　　需要root权限的传送门

题目大意

　　给定一个长度为$n$的数组，要求对每个$1 \leqslant i \leqslant n$找到最小整数的$p$，对于任意$j$满足使得$a_{i} + p - \sqrt{\left | i - j \right |} \geqslant a_{j}$。

　　一来想到函数$y = \left \lceil \sqrt{x} \right \rceil$，至多有根号个取值，然后发现$O(n\sqrt{n})$会稳T。

　　对于函数$y = \sqrt{x}$有一些很优美的性质，比如它的增长率不断递减（因为它的导数$y' = \frac{1}{\sqrt{x}}$，$y'$随$x$减小而减小）。

　　所以对于两个决策点$i, j$，若满足$i < j$，如果它们在转移到$p_{k}$的时候$i$没有$j$优，那么$i$不会比$j$优了。

　　同样的，如果$i$还是比$j$优，那么在$k$之前还是这样的。　　

　　因此决策点是单调的。

　　所以我们可以用整体二分的写法。

　　每次考虑$f[mid]$的函数值，找到它的最优决策点$pos$，那么可以确定左区间的决策点的范围，对于右区间同理。

Code

 /**
  * bzoj
  * Problem#2216
  * Accepted
  * Time: 4516ms
  * Memory: 13032k
  */
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef bool boolean;

 int n;
 int *csqr;
 int *ar;
 int *f, *g; 

 inline void init() {
     scanf("%d", &n);
     csqr = new int[(n + )];
     ar = new int[(n + )];
     f = new int[(n + )];
     g = new int[(n + )];
     for (int i = ; i <= n; i++)
         scanf("%d", ar + i);
 }

 double *sqs;
 void prepare() {
     sqs = new double[(n + )];
     sqs[] = ;
     for (int i = ; i <= n; i++)
         sqs[i] = sqrt(i);
 }

 void dividing(int* f, int l, int r, int ql, int qr) {
     if (l > r)    return;
     int mid = (l + r) >> , pos;
     double mx = 0.0, cmp;
     for (int i = ql; i <= qr && i <= mid; i++)
         if ((cmp = ar[i] + sqs[mid - i]) > mx)
             mx = cmp, pos = i;
     f[mid] = ceil(mx - ar[mid]);
     dividing(f, l, mid - , ql, pos);
     dividing(f, mid + , r, pos, qr);
 }

 inline void solve() {
     dividing(f, , n, , n);
     reverse(ar + , ar + n + );
     dividing(g, , n, , n);
     for (int i = ; i <= n; i++)
         printf("%d\n", max(f[i], g[n - i + ]));
 }

 int main() {
     init();
     prepare();
     solve();
     return ;
 }