堆以及一些用法 QWQ这是写得最认真的板子题

最近一直在学图论，然后吧，由于学的东西实在是太多太杂了，加上蒟蒻本蒻又经常颓，所以落了好多好多板子题的整理没写啊嘤嘤嘤，不过把这些东西学的差不多了，再一块写个整理，其实感觉还不错？？？？？也算是很神奇吧，大概就是知识的积淀这一块有了一点用

好了，话不多说，我们来进入正题

P3378 【模板】堆

我们从板子题入手，慢慢的了解堆（其实是自己巩固而已QWQ）

这里我们学习的堆其实是二叉堆，算是比较狭义的一种定义吧，首先，

堆是一种特殊的二叉树，而且是完全二叉树

为什么我们接触到的比较早的数据结构是堆呢？

其实有这么几个原因：

1.因为堆是一颗完全二叉树，所以在父亲和儿子方面，就完全不需要结构体存树，而是严格按照完全二叉树的定义来就可以

一棵树上的一个节点i，他的儿子是i*2和i*2+1，他的父亲是i/2（此处为整除）

所以处理的时候就很方便啊。

2.c++自带的STL对于堆非常友好，基本上随便写几个STL就能构建一个堆，即使是手写，大约时间也就是十分钟左右，并不是太慢。

3.堆的应用不少，比如堆排序，以及了解一种数据结构，为将来学习可并堆，斐波那契堆打下坚实基础，而且能优化dijkstra(图论).

下面来讲一讲堆的一些基本操作步骤

插入（大雾

我们要对堆插入一个元素，但是并不是扔进去，让尾指针++就完事了，我们还得对堆的正确性进行维护。

来说一下思想，对于添加进来的元素，设其位置为now，那么他爹就是now/2（now>>1  位运算更快哦）

只要比较二者大小，如果新元素更小，那么就交换即可，否则意味着合法，我们直接退出循环就可以，循环的终止条件就是now！=1（因为当now==1时，它已经是堆首元素，没爹。。。。多苦的一孩子（大雾）

来看代码

inline void add(int x)
{
    Heap[++cnt] = x;//这里小小的压了一下行
    int now = cnt;
    while (now!=)
    {
        if (Heap[now] < Heap[now >> ])
            swap(Heap[now], Heap[now >> ]),now>>=;
        else
            break;
    }
}

弹出

这个也要分为两种，一种是弹出堆首元素，另一种是弹出任意位置的元素（这种一般与寻找元素相结合，考察对DFS，BFS之类的搜索方法的能力）

先看弹出堆首元素，

想要弹出的话，我们就把最小值修改为INF（我比较喜欢1e9），然后和之前相反，向下比较直到找到合适为止为止。

具体讲一讲

因为小根堆的要求是所有根节点都得比他孩子小，所以我们定义首节点的位置为root=1，因为已经置成INF了，所以我们向下开始比较；

先让两个孩子比，最小的那个再和root比，如果比root小，那么就交换二者，否则符合条件就直接退出循环，这里的循环终止条件是   root << 1 <= cnt，也就是说root的儿子已经比当前的堆的长度大了，也就是不存在儿子了

但是这种方法其实不是很好啊，因为你排到最后，最底下就一大堆INF，难看的要死还占空间，倒不如直接交换首元素和尾元素，然后直接把尾指针减一就可以，这样的话最小值就被删除了，之后进行一下动态维护就可以。

来看代码

inline void pop()
{
    Heap[] = Heap[cnt--];
    int root = ;
    while (root <<  <= cnt)
    {
        int son;
        if ((root << ) +  > cnt ||
                  Heap[root << ] < Heap[(root << ) + ])
        {
            son = root << ;
        }
        else
            son = (root << ) + ;
        if (Heap[son] > Heap[root])
            break;
        swap(Heap[root], Heap[son]);
        root = son;
    }
}

输出堆首元素

这东西其实没啥好讲的，因为堆首元素就肯定是Heap[1]嘛，知道就行，然后就可以输出了，因为不对堆中元素进行移动和修改，是不影响堆的合法性的。

这些都看的差不多了，就直接略微修改，板子题就切掉啦

#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int INF = ;
int n, a, b, Heap[], cnt = ;
inline void add(int x)
{
    Heap[++cnt] = x;
    int now = cnt;
    while (now!=)
    {
        if (Heap[now] < Heap[now >> ])
            swap(Heap[now], Heap[now >> ]),now>>=;
        else
            break;
    }
}
inline void print()
{
    printf("%d\n", Heap[]);
}
inline void pop()
{
    Heap[] = Heap[cnt--];
    int root = ;
    while (root <<  <= cnt)
    {
        int son;
        if ((root << ) +  > cnt ||
                  Heap[root << ] < Heap[(root << ) + ])
        {
            son = root << ;
        }
        else
            son = (root << ) + ;
        if (Heap[son] > Heap[root])
            break;
        swap(Heap[root], Heap[son]);
        root = son;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = ; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a);
        if (a == )
        {
            scanf("%d", &b);
            add(b);
        }
        if (a == )
            print();
        if (a == )
            pop();
    }
    return ;
}

还是肥肠感谢gh神仙的热心帮忙啊，，，，QWQ一个板子题交了三四遍才过，真的是太辣鸡了

看完板子题，我们来看看合并果子这个题

P1090 合并果子

这个题在学完堆之后就好做多了，不过蒟蒻我很早以前做的时候是用dp加快排做的，那叫一个惨不忍睹啊，，，，，，，，连个样例都没过，所以干脆也就没有提交记录了

但是我们要分析分析，为什么这种算法会TLE

思考一下，我们对于，每一堆果子的个数进行排序，这样的话，先合并前两个果子，看似没什么问题，但是当你合并完了之后，你又得干啥呢？？？

我当时就傻乎乎的又用sort，然后就连本地编译都会超时，我们分析一下时间复杂度，其实就是O（nlongn+(n-1)log(n-1)+(n-2)log(n-2)+.....+log 1）

这样的话就肥肠慢了啊，因为每一次快排都是遍历了所有的数，但是其实很大一部分都是有序的，所以快排也没什么用，反而浪费时间。

那么用堆解决就没有任何问题了

每次合并前两个小的集合，然后把合并完的集合加到ans中，再扔回堆进行维护，这道题就做完啦

上代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,ans,Heap[],num,cnt=,sum;
inline void add(int x)
{
    Heap[++cnt] = x;
    int now = cnt;
    while (now!=)
    {
        if (Heap[now] < Heap[now >> ])
            swap(Heap[now], Heap[now >> ]),now>>=;
        else
            break;
    }
}
inline void pop()
{
    Heap[] = Heap[cnt--];
    int root = ;
    while (root <<  <= cnt)
    {
        int son;
        if ((root << ) +  > cnt ||
                  Heap[root << ] < Heap[(root << ) + ])
        {
            son = root << ;
        }
        else
            son = (root << ) + ;
        if (Heap[son] > Heap[root])
            break;
        swap(Heap[root], Heap[son]);
        root = son;
    }
}
int main()
{

    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&num);
        add(num);
    }
    while(cnt>=)
    {
        sum+=Heap[];
        pop();
        sum+=Heap[];
        pop();
        ans+=sum;
        add(sum);
        sum=;
    }
    printf("%d",ans);
    return ;
}

想看堆排的同学看这里