[SDOI 2014]数表

Description

有一张N×m的数表，其第i行第j列（1 < =i < =N，1 < =j < =m）的数值为
能同时整除i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。

Input

输入包含多组数据。
    输入的第一行一个整数Q表示测试点内的数据组数，接下来Q行，每行三个整数n，m，a(|a| < =10^9)描述一组数据。

Output

对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2
4 4 3
10 10 5

Sample Output

20
148

HINT

1 < =N．m < =10^5  ， 1 < =Q < =2×10^4

题解

假设没有 $a$ 的限制，那么题目就是求 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))$$

这个 $\sigma$ 太鬼辣！我们用 $♂$ 来代替它。

我们提出 $gcd(i,j)$ \begin{aligned}ans&=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}♂(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]\\&=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}♂(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[gcd(i,j)=1]\\&=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}♂(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)\\&=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}♂(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)\\&=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}♂(d)\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(k)\left\lfloor\frac{n}{kd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{kd}\right\rfloor\end{aligned}

令 $T=kd$ ，枚举 $T$ $$ans=\sum_{T=1}^{min\{n,m\}}\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor\sum_{k\mid T}♂(k)\mu\left(\frac{T}{k}\right)$$

我们让后面那个狄利克雷卷积形式记作 $F(T)$ $$ans=\sum_{T=1}^{min\{n,m\}}F(T)\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor$$

现在就好求了，我们可以用枚举因数的方法来算出函数 $F$ 的值。

现在回到原问题，我们发现 $a$ 的约束还是不好操作。但我们想对于一个询问中的  $a$ 只有 $♂(d)\leq a$ 的值才会对其有影响。我们考虑离线询问，将 $a$ 从小到大排序。将数值 $i$ 按 $♂(i)$ 的大小排序。枚举因数用树状数组维护前缀。

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 #include <set>
 #include <map>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
 #define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
 #define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
 using namespace std;
 const int N = 1e5;
 void read(int &x) {
     char ch; bool flag = ;
     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || ); ch = getchar());
     for (x = ; isdigit(ch); x = (x<<)+(x<<)+ch-, ch = getchar());
     x *= -*flag;
 }
 void write(int x) {
     if (x > ) write(x/);
     putchar(x%+);
 }

 int q, ans[N+], sig[N+], mu[N+];
 struct query {
     int n, m, a, id;
     bool operator < (const query &b) const {
     return a < b.a;
     }
 }a[N+];
 struct sigma {
     int a, id;
     bool operator < (const sigma &b) const {
     return a < b.a;
     }
 }b[N+];
 struct bittree {
     int c[N+];
     void add(int x, int val) {for (; x <= N; x += lowbit(x)) c[x] += val; }
     int query(int x) {
     int ans = ;
     for (; x; x -= lowbit(x)) ans += c[x];
     return ans;
     }
 }T;

 void get_pre() {
     int isprime[N+], prime[N+], tot = , sumd[N+], prod[N+];
     memset(isprime, , sizeof(isprime)); isprime[] = , mu[] = sig[] = ; b[].id = b[].a = ;
     for (int i = ; i <= N; i++) {
     if (isprime[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -, sig[i] = +i, sumd[i] = +i, prod[i] = i;
     for (int j = ; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
         isprime[i*prime[j]] = ;
         if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i], sig[i*prime[j]] = sig[i]*sig[prime[j]], sumd[i*prime[j]] = +prime[j], prod[i*prime[j]] = prime[j];
         else {mu[i*prime[j]] = , prod[i*prime[j]] = prod[i]*prime[j], sumd[i*prime[j]] = sumd[i]+prod[i*prime[j]], sig[i*prime[j]] = sig[i]/sumd[i]*sumd[i*prime[j]]; break; }
     }
     b[i].id = i, b[i].a = sig[i];
     }
 }
 int solve(int n, int m) {
     if (n > m) Swap(n, m); int ans = ;
     for (int i = , last; i <= n; i = last+) {
     last = Min(n/(n/i), m/(m/i)); ans += (n/i)*(m/i)*(T.query(last)-T.query(i-));
     }
     return ans;
 }
 void work() {
     get_pre(); read(q);
     for (int i = ; i <= q; i++) read(a[i].n), read(a[i].m), read(a[i].a), a[i].id = i;
     sort(a+, a++q); sort(b+, b++N);
     for (int i = , last = ; i <= q; i++) {
     while (last < N && b[last].a <= a[i].a) {
         for (int j = ; j*b[last].id <= N; j++) if (mu[j]) T.add(j*b[last].id, mu[j]*b[last].a);
         last++;
     }
     ans[a[i].id] = solve(a[i].n, a[i].m);
     }
     for (int i = ; i <= q; i++) writeln(ans[i]&(~0u>>));
 }
 int main() {
     work();
     return ;
 }