bzoj 2005 能量采集 莫比乌斯反演

我们要求的是∑ni=1∑mj=1(2×gcd(i,j)−1)

化简得2×∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)−n×m

所以我们现在只需要求出∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)即可

∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)

=∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)ϕ(d)

=∑min(n,m)d=1ϕ(d)×⌊nd⌋×⌊md⌋

预处理ϕ的前缀和，下底分组即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define N 100500
using namespace std;
int prime[N],tot,n,m;
long long phi[N],ans;
bool bo[N];
void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!bo[i]){
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            bo[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]+=phi[i-1];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    init();
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(long long)(phi[j]-phi[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    ans*=2; ans-=(long long)n*m;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}