数值分析：Hermite多项式

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

Hermite埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

前4个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像

The Hermite polynomials are set of orthogonal polynomials over the domain
with weighting function, illustrated above for,
2, 3, and 4. Hermite polynomials are implemented in the Wolfram Language asHermiteH[n,x].

The Hermite polynomial can be defined by the contour integral

(1)

where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

Hermite多项式，其正交域为(-∞, +∞)，其一维形式是

其中，H_k(x)前面的乘式为正交归一化因子，为计算简便可省略。

前10个Hermite多项式

H_0(x) =
1

H_1(x) =
2x

H_2(x) =
4x^2-2

H_3(x) =
8x^3-12x

H_4(x) =
16x^4-48x^2+12

H_5(x) =
32x^5-160x^3+120x

H_6(x) =
64x^6-480x^4+720x^2-120

H_7(x) =
128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x

H_8(x) =
256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680

H_9(x) =
512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x

H_(10)(x) =
1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

The values may be called Hermite numbers.When ordered from smallest to largest powers, the triangle
of nonzero coefficientsis 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEISA059343).

Hermite多项式的性质

多项式H_n 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2ⁿ。

正交性

多项式H_n 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

   （概率论）

   （物理学）

也就是说，当m ≠ n 时：

除此之外，还有：

  
（概率论）

  
（物理学）

其中是克罗内克函数。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

完备性

在所有满足

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

埃尔米特微分方程

概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

方程的的边界条件为：应在无穷远处有界。

其中是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取∈。对于一个特定的本征值，对应着一个特定的本征函数解，即。

而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

其本征值同样为∈，对应的本征函数解为。

以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。

from:http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047

ref:mathworld Hermite Polynomial

wikipedia 埃尔米特多项式