LCA（最近公共祖先）——Tarjan

什么是最近公共祖先？

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

常用来求LCA的算法有：Tarjan/DFS（离线），ST/倍增（在线）。

1，Tarjan

tarjan的算法复杂度为$O(n+q)$。

思路：每进入一个节点u的深搜，就把整个树的一部分看作以节点u为根节点的小树，再搜索其他的节点。每搜索完一个点后，如果该点和另一个已搜索完点为需要查询LCA的点，则这两点的LCA为另一个点的现在的祖先。

1. 先建两个图，一个为树的各条边，另一个是需要查询最近公共祖先的两节点。
2. 建好后，从根节点开始进行一遍深搜。
3. 先把该节点u的father设为他自己（也就是只看大树的一部分，把那一部分看作是一棵树），搜索与此节点相连的所有点v，如果点v没被搜索过，则进入点v的深搜，深搜完后把点v的father设为点u。
4. 深搜完一点u后，开始判断节点u与另一节点v是否满足求LCA的条件，满足则将结果存入数组中。
5. 搜索完所有点，自动退出初始的第一个深搜，输出结果。

例.poj1470

传送：http://poj.org/problem?id=1470

题意：有n个点的树。m个询问，每个询问要求求出<u,v>的LCA。最终输出某个点作为询问中的LCA出现的次数。

分析：（题意描述有点不清喵喵喵？？？默认输入是父亲到儿子，然后手动记录入度，找到根节点。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<string>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 typedef pair<int,int> pii;
 vector<pii> q[maxn];
 vector<int> mp[maxn];
 int ans[maxn*maxn],num[maxn*maxn];
 int f[maxn],vis[maxn],flag[maxn];
 int find(int x){
     if (f[x]==x) return x;
     else return f[x]=find(f[x]);
 }
 void LCA(int root){
     f[root]=root;
     vis[root]=;
     for (int i=;i<mp[root].size();i++){
         int tmp=mp[root][i];
         if (vis[tmp]) continue;
         LCA(tmp);
         f[tmp]=root;
     }
     for (int i=;i<q[root].size();i++){
         pii tmp=q[root][i];
         if (vis[tmp.first])
             ans[tmp.second]=find(tmp.first);
     }
 }
 int main(){
     int n,m,x,y,kk;
     while (~scanf("%d",&n)){
         memset(flag,,sizeof(flag));
         for (int i=;i<n;i++){
             scanf("%d:(%d)",&x,&kk);
             while (kk--){
                 scanf("%d",&y);
                 flag[y]=;
                 mp[x].push_back(y);
                 //mp[y].push_back(x);
             }
         }
         scanf("%d",&m); char ch;
         for (int i=;i<m;i++){
             cin >> ch;
             scanf("%d %d)",&x,&y);
             q[x].push_back({y,i});
             q[y].push_back({x,i});
         }
         for (int i=;i<=n;i++) vis[i]=;
         int root;
         for (int i=;i<=n;i++) if (!flag[i]){root=i;break;}
         LCA(root);
         memset(num,,sizeof(num));
         for (int i=;i<m;i++) num[ans[i]]++;
         for (int i=;i<=n;i++)
             if (num[i]) printf("%d:%d\n",i,num[i]);
     }
     return ;
 } 

poj1470

练习：

1.hdu2586 How far away ？

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586

题意：求树上两点的最短距离。

分析：LCA。

树上最短路：$ans=dist[u]+dist[v]-2*dist[LCA(u,v)]$。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=4e4+;
 typedef pair<int,int> pii;
 struct node{
     int to,val;
 };
 vector<node> mp[maxn];
 vector<pii> q[maxn];
 int ans[],f[maxn],vis[maxn],dis[maxn],flag[maxn];
 int find(int x){
     if (f[x]==x) return x;
     else return f[x]=find(f[x]);
 }
 void LCA(int root){
     f[root]=root;
     vis[root]=;
     for (int i=;i<mp[root].size();i++){
         node tmp=mp[root][i];
         if (vis[tmp.to]) continue;
         dis[tmp.to]=dis[root]+tmp.val;
         LCA(tmp.to);
         f[tmp.to]=root;
     }
     for (int i=;i<q[root].size();i++){
         pii tmp=q[root][i];
         if (vis[tmp.first]){
             ans[tmp.second]=dis[root]+dis[tmp.first]-*dis[find(tmp.first)];
         }
     }
 }
 int main(){
     int t,n,m,x,y,z; scanf("%d",&t);
     while (t--){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         for (int i=;i<=n;i++) mp[i].clear(),flag[i]=,q[i].clear(),dis[i]=,vis[i]=;
         for (int i=;i<n-;i++){
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
             mp[x].push_back({y,z});
             mp[y].push_back({x,z});
             flag[y]=;
         }
         for (int i=;i<m;i++){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             q[x].push_back({y,i});
             q[y].push_back({x,i});
         }
         int root;
         for (int i=;i<=n;i++) if (!flag[i]){root=i;break;}
         LCA(root);
         for (int i=;i<m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
     }
     return ;
 }

hdoj2586

2.hdu2874 Connections between cities

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2874

题意：n个点，m条边。问树上两点间最短路。

分析：图是森林。LCA。（卡内存，mle了若干发。

需要判断未经过的点作为新的一个树，求解答案。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=1e4+;
 const int maxm=1e6+;
 typedef pair<int,int> pii;
 struct node{
     int to,val,nxt;
 }mp[maxm*];
 struct node2{
     int to,id,nxt;
 }q[maxm*];
 int head[maxn],q_head[maxn];
 int ans[maxm],f[maxn],dis[maxn];
 bool vis[maxn];
 int tot,tot2;
 void addedge(int x,int y,int z){
     mp[tot].to=y;
     mp[tot].val=z;
     mp[tot].nxt=head[x];
     head[x]=tot++;
 }
 void addquery(int x,int y,int id){
     q[tot2].to=y;
     q[tot2].id=id;
     q[tot2].nxt=q_head[x];
     q_head[x]=tot2++;
 }
 int find(int x){
     if (f[x]==x) return x;
     else return f[x]=find(f[x]);
 }
 void LCA(int root){
     f[root]=root;
     vis[root]=;
     for (int i=head[root];i!=-;i=mp[i].nxt){
         node tmp=mp[i];
         if (vis[tmp.to]) continue;
         dis[tmp.to]=dis[root]+tmp.val;
         LCA(tmp.to);
         f[tmp.to]=root;
     }
     for (int i=q_head[root];i!=-;i=q[i].nxt){
         node2 tmp=q[i];
         if (vis[tmp.to]){
             if (dis[tmp.to]!=-) ans[tmp.id]=dis[root]+dis[tmp.to]-*dis[find(tmp.to)];
         }
     }
 }
 int main(){
     int n,m,c,x,y,z;
     while (~scanf("%d%d%d",&n,&m,&c)){
         //for (int i=1;i<=n;i++) head[i]=-1,q_head[i]=-1,flag[i]=false;
         //for (int i=0;i<=c;i++) ans[i]=-1;
         memset(head,-,sizeof(head));
         memset(q_head,-,sizeof(q_head));
         memset(ans,-,sizeof(ans));
         memset(vis,,sizeof(vis));
         tot=;tot2=;
         for (int i=;i<m;i++){
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
             addedge(x,y,z);
             addedge(y,x,z);
         }
         for (int i=;i<c;i++){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             addquery(x,y,i);
             addquery(y,x,i);
         }
         for (int i=;i<=n;i++){
             if (!vis[i]){
                 //for (int j=1;j<=n;j++) vis[j]=0,dis[j]=0;
                 memset(dis,-,sizeof(dis));
                 dis[i]=;
                 LCA(i);
             }
         }
         for (int i=;i<c;i++){
             if (ans[i]==-) printf("Not connected\n");
             else printf("%d\n",ans[i]);
         }
     }
     return ;
 }

hdoj2874