Luogu 1437 [HNOI2004]敲砖块（动态规划）

Description

在一个凹槽中放置了 n 层砖块、最上面的一层有n块砖，从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值，敲掉这块砖就能得到相应的分值，如下图所示。

14 15 4 3 23

33 33 76 2

2 13 11

22 23

31

如果你想敲掉第 i 层的第j 块砖的话，若i=1，你可以直接敲掉它；若i>1，则你必须先敲掉第i-1 层的第j 和第j+1 块砖。你现在可以敲掉最多 m 块砖，求得分最多能有多少。

Input

输入文件的第一行为两个正整数 n 和m；接下来n 行，描述这n层砖块上的分值a[i][j],满足0≤a[i][j]≤100。对于 100%的数据，满足1≤n≤50，1≤m≤n*(n+1)/2；

Output

输出文件仅一行为一个正整数，表示被敲掉砖块的最大价值总和。

Sample Input

4 5

2 2 3 4

8 2 7

2 3

49

Sample Output

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1437

Source

动态规划

解决思路

这是一道非常难想到的动态规划问题。

首先我们把矩阵左对齐，但发现如果我们直接在这个上面对行进行转移，我们发现是不满足转移的有序性的，因为第i行第j列是否可以敲掉取决于上面一个倒三角是否被敲掉，比如说这个图

 1  2  3  4  5

 6  7  8  9

10 11 12

13 14

15

如果我们要敲掉7，则1,2都要敲掉。如果我们要敲掉12，则1,2,3,7,8都要敲掉。这给转移带来了麻烦。

如何解决呢？我们发现如果第i行第j列被敲掉了，那么要求对于\(\forall k \in [1,i-1]\)，[k][j]一定被打掉了。

于是我们就想到话说这怎么想到的？把矩阵翻折过来。上面的矩阵就变成了这个样子

1

2 6

3 7 10

4 8 11 13

5 9 12 14 15

简单点来说，就是把矩阵沿主对角线翻折，再向下对齐

这个翻转用程序表示就是：

for (int j=1;j<=n;j++)

		for(int i=j;i<=n;i++)

			Mat_new[i][j]=read();//read就是按照原矩阵的顺序从上至下从左至右读入

那么我们就可以知道，如果要选择[i][j]，那么[i][1~(j-1)]是一定要选的，并且我们还发现，原来的选一个数需要选择的上三角变成了更好处理的下三角。举个例子，比如说12

在原来的图中

 1   2   [3] [4] [5]

 6   7   [8] [9]

10  11  [12]

13 14

15

把图翻折后

 1

 2   6

[3]  7   10

[4] [8]  11  13

[5] [9] [12] 14 15

所以，我们设F[i][j][k]表示在新图中的第i行取前j个总共取了k个的最大的，那么我们只要枚举上一行是由那个转移过来的。

可以注意到，因为我们当前是在第j列，那么我们在上一行的枚举就至少得从j-1列开始。比如上面这个12的例子，那么就至少得从数字8（第2列）开始枚举，枚举到数字13（第4列）

所以我们就可以的得到动态转移方程（Arr就是我们翻转后的矩阵）

\[F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+\sum_{l=1}^{l<=j}Arr[i][j])\{p \in [1,j-1]\}
\]

我们发现这个算法还有改进的余地，就是利用前缀和来优化\(\sum_{l=1}^{l<=j}Arr[i][j]\)的求解。

令\(Sum[i][j]=\sum_{k=1}^{k<=i}Arr[i][k]\)，那么有

\[Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+Arr[i][j]
\]

所以最终的转移方程就是

\[F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+Sum[i][j])
\]

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxN=60;

const int maxM=4000;

const int inf=2147483647;

int n,m;

int Arr[maxN][maxN];

int Sum[maxN][maxN];

int F[maxN][maxN][maxM];

int read();

void outp();

int main()

{

	n=read();

	m=read();

	for (int j=1;j<=n;j++)//输入，同时转置矩阵

		for(int i=j;i<=n;i++)

			Arr[i][j]=read();

	for (int i=1;i<=n;i++)//计算前缀和

		for (int j=1;j<=i;j++)

			Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+Arr[i][j];

	mem(F,-1);//置为-1，标记为不行

	for (int i=1;i<=n;i++)//动态转移初始值

	{

		F[i][0][0]=0;

		F[i][1][1]=Arr[1][i];

	}

	int Ans=0;

	for (int i=1;i<=n;i++)

		for (int j=0;j<=i;j++)

			for (int k=0;k<=m;k++)

			{

				if (j<=k)//只用j<k的时候才能推

					for (int p=max(j-1,0);p<=i-1;p++)//注意这里的取max，因为j为0的时候j-1是负数

						if (F[i-1][p][k-j]!=-1)

							F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+Sum[i][j]);

				Ans=max(Ans,F[i][j][k]);//取最大值

			}

	printf("%d\n",Ans);

	fclose(stdin);

	fclose(stdout);

	return 0;

}

int read()

{

	int x=0;

	int k=1;

	char ch=getchar();

	while (((ch>'9')||(ch<'0'))&&(ch!='-'))

		ch=getchar();

	if (ch=='-')

	{

		k=-1;

		ch=getchar();

	}

	while ((ch>='0')&&(ch<='9'))

	{

		x=x*10+ch-48;

		ch=getchar();

	}

	return x*k;

}