【POJ1179】Polygon 区间DP

这道题是典型的环形石子归并模型，破环成链后时间复杂度为\(O(n^3)\)

不过，因为题目中所给的数字可能是负数，仅仅记录区间内合并之后的最大值并不满足动态规划的最优子结构性质。因此，还需要额外记录下区间合并后的最小值，由最小值和最大值即可组合出整个区间的最大值。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=110;

char s[2];
int n,num[maxn],head[maxn];//0->+ 1->*
struct node{
	long long mx,mi;
}dp[maxn][maxn];
vector<int> v;

void read_and_parse(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){//破环成链
		scanf("%s%d",s,&num[i]);
		if(s[0]=='t')head[i]=0;
		else head[i]=1;
		num[i+n]=num[i],head[i+n]=head[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//初始化
		dp[i][i].mx=dp[i+n][i+n].mx=num[i];
		dp[i][i].mi=dp[i+n][i+n].mi=num[i];
	}
}

const int inf=0x3f3f3f3f;

void solve(){
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int l=1;l<=2*n-len+1;l++){
			int r=l+len-1;
			dp[l][r].mi=inf,dp[l][r].mx=-inf;
			for(int k=l;k<r;k++){
				if(head[k+1]){
					dp[l][r].mx=max(dp[l][r].mx,dp[l][k].mi*dp[k+1][r].mi);
					dp[l][r].mx=max(dp[l][r].mx,dp[l][k].mx*dp[k+1][r].mx);
					dp[l][r].mi=min(dp[l][r].mi,dp[l][k].mx*dp[k+1][r].mx);
					dp[l][r].mi=min(dp[l][r].mi,dp[l][k].mi*dp[k+1][r].mi);
					dp[l][r].mi=min(dp[l][r].mi,dp[l][k].mx*dp[k+1][r].mi);
					dp[l][r].mi=min(dp[l][r].mi,dp[l][k].mi*dp[k+1][r].mx);
				}
				else{
					dp[l][r].mx=max(dp[l][r].mx,dp[l][k].mx+dp[k+1][r].mx);
					dp[l][r].mi=min(dp[l][r].mi,dp[l][k].mi+dp[k+1][r].mi);
				}
			}
		}
	}
	long long ans=-inf;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[i][i+n-1].mx>ans){
			v.clear(),v.push_back(i);
			ans=dp[i][i+n-1].mx;
		}
		else if(dp[i][i+n-1].mx==ans)
			v.push_back(i);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	for(int i=0;i<v.size();i++)
		printf("%d%c",v[i],i==v.size()-1?'\n':' ');
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}