BZOJ5101[POI2018]Powódź——并查集

题目描述

在地面上有一个水箱，它的俯视图被划分成了n行m列个方格，相邻两个方格之间有一堵厚度可以忽略不计的墙，水

箱与外界之间有一堵高度无穷大的墙，因此水不可能漏到外面。已知水箱内每个格子的高度都是[0,H]之间的整数

，请统计有多少可能的水位情况。因为答案可能很大，请对10^9+7取模输出。两个情况不同当且仅当存在至少一个

方格的水位在两个情况中不同。

输入

第一行包含三个正整数n,m,H(n*m<=500000,1<=H<=10^9)。

接下来n行，每行m-1个整数a[i][j](1<=a[i][j]<=H)，表示(i,j)和(i,j+1)之间的墙的高度。

接下来n-1行，每行m个整数b[i][j](1<=b[i][j]<=H)，表示(i,j)和(i+1,j)之间的墙的高度。

输出

输出一行一个整数，即方案数模10^9+7的结果。

样例输入

3 2 2
1
1
1
1 2
1 1

样例输出

65
HINT
要么全部格子水位都是2，要么全部格子水位都在[0,1]之间，共1+2^6=65种情况。

 

容易看出这是个网格图，将每个格子看作一个点，格子与格子间的墙看作是点与点之间的边，墙高就是边权。

对于每个点，只有与它相连的边权最小的边是有用的，在这个边权之下这个点的水位可以是任意的。

一旦超过了这个边权，那么这个点与那条边连向的点的水位就一定要保持相同了。

那么我们可以按边权从小到大的顺序合并每个点(或联通块)，同时记录每个联通块里的最大边权以及每个联通块中的方案数。

因为一个联通块超过其中最大边后，联通块中每个点的水位都是一致的，所以当合并两个联通块时设两个联通块中的方案数分别是g1,g2；两个联通块中最大边分别是h1,h2，合并这两个联通块的边权为v，那么合并后得到的联通块的方案数就是(g1+v-h1)*(g1+v-h2)。

当所有联通块都合并之后(也就是所有点都连通之后)所有点的水位是一同升高的，只要把整个联通块的方案数加上H-最后一次合并的边权就好了。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,H;
int x;
int f[500010];
int tot;
ll g[500010];
int h[500010];
int mod=1e9+7;
struct node
{
    int x;
    int y;
    int v;
}s[1000010];
int cnt;
void add(int x,int y,int v)
{
    s[++cnt].x=x;
    s[cnt].y=y;
    s[cnt].v=v;
}
bool cmp(node s,node t)
{
    return s.v<t.v;
}
int find(int x)
{
    if(f[x]==x)
    {
        return x;
    }
    return f[x]=find(f[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&H);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m-1;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            add((i-1)*m+j,(i-1)*m+j+1,x);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            add((i-1)*m+j,i*m+j,x);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[(i-1)*m+j]=(i-1)*m+j;
            g[(i-1)*m+j]=1;
        }
    }
    sort(s+1,s+1+cnt,cmp);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        int fx=find(s[i].x);
        int fy=find(s[i].y);
        if(fx!=fy)
        {
            g[fx]=(g[fx]+s[i].v-h[fx])*(g[fy]+s[i].v-h[fy])%mod;
            f[fy]=fx;
            h[fx]=s[i].v;
        }
    }
    printf("%lld",(g[find(1)]+H-h[find(1)])%mod);
}