对偶空间（dual linear space）

1. 定义

设 V 为定义在数域 F 上的向量空间，定义 V 上的线性函数是从 V 到 F 的映射：f:V→F，且满足 ∀x,y∈V,k∈F 有：f(x+y)=f(x)+f(y),f(ka)=kf(a)。

现考虑 V 上所有线性函数（f:V→F）的集合 V⋆。对 ∀f,g∈V⋆,x∈V,k∈F，可以在 V⋆ 定义如下的标量乘法和加法（向量加法）：

• 标量乘法：g(kx)=kg(x)
• 加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)（向量加法，是由定义出来的）

在上述意义下，可以证明 V⋆ 是域 F 上的向量空间，称为 V 的对偶空间。

最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。

2. 简单性质

• covector：vectors in the dual space，对偶空间中的向量称为 covector（协向量）
  
  α∈V⋆,v∈V⇒α(v)∈R，covector 以 vector 为输入，以 scalar 为输出；

• 从基的角度继续考察对偶空间，如果 V 表示一个有限维空间，则 dimV=dimV⋆

  • 假定 V:{ei}i=1,…,n（由基向量长成的线性空间），V⋆={ei}i=1,…,n，则有如下的定义：
  ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise

  对偶空间中的向量称为 covector，如性质一所说，covector 接受线性空间中的向量，输出一个标量；