Logistic Regression 的简单推导

Logistic Regression 是一种 Generalized Linear Model（GLM），也即广义线性模型。

1. LR 的基本假设

LR 模型假设观测值 y 成立的对数几率（log-odds）能够表示为 K 重输入变量的线性组合：

logP(x)1−P(x)=∑j=0Kbjxj

其中 x0=1（特征向量进行增广），待求的模型共 K+1 个参数。等式左边被称为 logit of P（这也是 logistic regression 得名的原因）。

等式两边同时取对数：

P(x)1−P(x)=exp⎛⎝∑j=0Kbjxj⎞⎠=∏j=0Kexp(bjxj)

这样的等式形式清晰地说明了，logistic 模型与输入之间是乘性关系，而不是线性模型的加性关系，这种加性关系也给了我们一种解释系数的方式。比如 exp(bj) 就表明了，随着 xj 增加一个单位（xj⇒xj+1），模型的输出为真的几率增加的大小（也即 exp(bj)）。考虑 bj=0.693，则 exp(bj)=2，如果此时 xj 表达的是数值变量，比如年龄，xj 变量没增加 1 岁，模型输出为真的几率就变为之前的 2 倍。

如果记 z=∑j=0Kbjxj，上述等式又可转化为：

P(x)=11+exp(−z)

等式右端被称为 sigmoid 函数（关于 z），

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• The Simpler Derivation of Logistic Regression