[bzoj1925][Sdoi2010]地精部落_递推_动态规划

地精部落 bzoj-1925 Sdoi-2010

题目大意：给你一个数n和模数p，求1~n的排列中满足每一个数的旁边两个数，要么一个是边界，要么都比它大，要么都比它小(波浪排列个数)

注释：$1\le n\le 4200$ , $1\le p\le 10^9$。

想法：神题！这题标签给的是dp，但是一个没有动态性的dp应该叫递推吧qwq。先证几个引理：

引理1：对于任意的一个波动序列，将其中的第i个数a[i]离散成坐标系中的一个点(i,a[i])，这样所构成的波动离散点集关于任意的一条平行于x轴的直线对称后的(i,a'[i])，a'序列仍是波动序列。

　　证明：假设那条直线是y=b。那么对于任意的$i\in [2,n-1]$，都有min(b-a[i-1]，b-a[i+1])>b-a[i]或max(b-a[i-1],b-a[i+1])<b-a[i]，反转之后，显然有max(a[i-1],a[i+1])<a[i]or min(a[i-1],a[i+1])>a[i]，证毕。

引理2：如果交换波动序列中两个位置不相邻但是单调性相邻的数(单调性相邻，就是说将原波动序列上的所有数按照权值排序后相邻的两个数)，交换后的序列仍是波动序列，

　　证明：显然。

然后，我们设

　　递推状态：dp[i][j]，表示1~i的排列中，第一位为j且为山峰的方案数。

　　转移：dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1]。

为什么呢？首先，我们对dp[i][j]的所有方案进行一个分划：由于j是第一位且为山峰，所以，j-1可以处在第二位。但是dp[i][j-1]中，j是不可能处在第二位的，所以，我们对于dp[i][j-1]中的每一种排列都将j和j-1交换。j-1是山峰交换后j自然也是山峰，由引理2可知交换后仍是波动序列。此时，我们处理好了j-1不在第二位的情况。如果j-1钦定在第二位呢？我们对于这样的i-1个数：1,2,...j-1,j+1,...,i。将它们所有的数都变成关于y=0对称后向上平移i个单位的数，即变成：i-1,i-2,...,i-j+1,i-j-1,...,0.然后，我们有：dp[i][i-j+1]是原序列从小到大排序，第i-j+1个数作为第一个数且为山峰的方案数。这样的方案数在将所有数都恢复到原来的样子，仍然是波动序列只不过第一个数是j-1且为山谷，将j放在j-1之前，恰满足题意。

最后，附上丑陋的代码... ...

#include<bits/stdc++.h>
#define N 5010
using namespace std;
int dp[2][N];
int n,mod;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    dp[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2;j<=i;j++)
        {
            dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][i-j+1])%mod;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int j=2;j<=n;j++)
    {
        ans=(ans+dp[n&1][j])%mod;
    }
    printf("%d",(ans<<1)%mod);
}

小结：对于波动序列，有一些小的引理或性质有待挖掘... ...