BZOJ 4044 Luogu P4762 [CERC2014]Virus Synthesis (回文自动机、DP)

好难啊。。根本不会做。。基本上是抄Claris。。。

题目链接: (bzoj)https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4044

(luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P4762

题解: 先观察到三个(ju)性(fei)质(hua): 2操作的结果一定是一个回文串(废话), 最后一个2操作之后只能进行1操作(废话), 只进行1操作花费代价等于字符个数(废话)

三句废话连在一起说: 最后一次2操作产生了一个回文串，此后只能进行1操作，总代价等于回文串代价+目标串长度-回文串长度

又因为一个串的本质不同回文子串个数是\(O(n)\)个，而且奇数长度的回文串没有任何意义，所以实际上有用的状态只是这个串的那些偶数长度的回文子串。。。

然后就可以在回文自动机上DP

考虑如何生成一个偶数长度的回文串，最优方案最后一步肯定是2操作(废话)，那么考虑最后2操作之前的一步

因为我们只记录回文串的状态，所以我们希望建立从回文串到回文串的转移，而不能依赖于其他子串。

第一种情况，2操作之前的最后一步将一个字符加在了外面，则代价为该串去掉两头字符后的回文串代价+1 (不需要考虑更多，因为回文串去掉两头还是回文串)

第二种情况，2操作之前的最后一步将字符加在了里面，于是只能找到该串右半侧的最长回文后缀(或左半侧的最长回文前缀)与之建立联系，则代价为(该串串长的一半-右半侧最长回文后缀长度)+右半侧最长回文后缀代价+1 (最后一个+1是指要复制一次，但是第一种情况的+1指的是在复制之前加了一个字符，最后一步复制的代价在去掉两头字符的代价中算过了)

要注意初始值是\(f[0]=1\), 因为要求的是长度为0的回文串的代价，相当于自我复制一遍，以供第一种情况转移。

最后的问题是，如何对于一个串的一个回文子串快速求出不超过其长度一半的最长回文后缀？

建回文自动机，在上面进行递推

一开始觉得是从它的fail递推下来十分直观(因为fail本来就是最长回文后缀)，但是实际上这样并不好(可能需要建出“fail树”再在上面做一些树的操作)。

比较好的方法应该是对于当前要递推的\(u\)点找到点\(p\)满足\(son[p][ch]=u\) (\(ch\)是\(u\)的结束字符，\(p\)点在构建回文自动机的过程中已经找到了)，然后从\(p\)开始跳fail，直到合法为止，然后再走到它的\(ch\)儿子。因为这样可以避免在fail树上自上而下寻找，而采用更方便的\(son\)来向下寻找。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+2;
const int S = 4;
char a[N+3];
int len[N+3];
int fail[N+3];
int son[N+3][S+1];
int bd[N+3];
int dp[N+3];
int que[N+3];
int n,siz,lstpos;

int decode(char ch)
{
	if(ch=='A') return 1;
	else if(ch=='C') return 2;
	else if(ch=='T') return 3;
	else if(ch=='G') return 4;
}

void initPAM()
{
	siz = 1; fail[0] = fail[1] = 1; len[0] = 0; len[1] = -1; lstpos = 1; bd[0] = 0; bd[1] = 1;
}

void insertchar(int id)
{
//	printf("insert %d\n",a[id]);
	int p = lstpos;
	while(a[id-1-len[p]]!=a[id]) {p = fail[p];}
	if(!son[p][a[id]])
	{
		siz++; int u = siz,v = fail[p];
		while(a[id-1-len[v]]!=a[id]) {v = fail[v];}
		fail[u] = son[v][a[id]]; len[u] = len[p]+2; son[p][a[id]] = u;
//		printf("p=%d u=%d\n",p,u);
		if(len[u]<=2) {bd[u] = fail[u];}
		else
		{
			bd[u] = bd[p];
			while(a[id-1-len[bd[u]]]!=a[id] || (len[bd[u]]+2)*2>len[u])
			{
				bd[u] = fail[bd[u]];
			}
			bd[u] = son[bd[u]][a[id]];
		}
	}
	lstpos = son[p][a[id]];
}

void clear()
{
	for(int i=0; i<=siz; i++) bd[i] = dp[i] = len[i] = fail[i] = son[i][1] = son[i][2] = son[i][3] = son[i][4] = 0;
}

int main()
{
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		initPAM();
		scanf("%s",a+1); n = strlen(a+1);
		for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = decode(a[i]);
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			insertchar(i);
		}
//		printf("siz=%d\n",siz);
//		for(int i=0; i<=siz; i++) for(int j=1; j<=S; j++) {if(son[i][j]) printf("son%d %d %d\n",i,j,son[i][j]);}
//		printf("fail: "); for(int i=0; i<=siz; i++) printf("%d ",fail[i]); puts("");
//		printf("bd: "); for(int i=0; i<=siz; i++) printf("%d ",bd[i]); puts("");
		for(int i=1; i<=siz; i++) {if(len[i]&1) dp[i] = len[i];}
		int head = 1,tail = 1;
		que[1] = 0; dp[0] = 1;
		while(head<=tail)
		{
			int u = que[head]; head++;
			for(int i=1; i<=S; i++)
			{
				if(son[u][i])
				{
					tail++; que[tail] = son[u][i];
					dp[son[u][i]] = min(dp[u]+1,((len[son[u][i]])>>1)-len[bd[son[u][i]]]+dp[bd[son[u][i]]]+1);
				}
			}
		}
		int ans = n;
		for(int i=0; i<=siz; i++) ans = min(ans,n-len[i]+dp[i]);
		printf("%d\n",ans);
		clear();
	}
	return 0;
}