【BZOJ-2142】礼物 拓展Lucas定理

2142: 礼物

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Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 4 2 1 2

Sample Output

12

【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

Source

Solution

扔下模板走人。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 100010
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}

#define Pa pair<LL,LL>
#define MP make_pair
#define X first
#define C second

int N,M,P,w[MAXN];

inline LL Pow(LL x,LL y) {LL re=1; for (LL i=y; i; i>>=1,x=x*x) if (i&1) re=re*x; return re;}
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p) {LL re=1; for (LL i=y; i; i>>=1,x=x*x%p) if (i&1) re=re*x%p; return re;}

inline void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {if (!b) {x=1,y=0; return;} else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;}

inline LL Inv(LL x,LL p) {LL a,b; Exgcd(x,p,a,b); return (a%p+p)%p;}

inline Pa Fac(LL x,LL p,LL c,LL pc)
{
	if (x==1 || !x) return MP(1,0);

	int las=x%pc; LL re2=1,re1;

	for (int i=1; i<=las; i++) {
		if (!(i%p)) continue;
		re2=re2*i%pc;
	}

	if (x>=pc) {
		re1=re2;
		for (int i=las+1; i<pc; i++) {
			if (!(i%p)) continue;
			re1=re1*i%pc;
		}
		re1=Pow(re1,x/pc,pc);
	} else re1=1;

	int t=x/p;
	Pa re=Fac(x/p,p,c,pc);
	return MP(re1*re2%pc*re.X%pc,t+re.C);
}

inline LL Lucas(LL n,LL m,LL p,LL c,LL pc)
{
	Pa n1=Fac(n,p,c,pc),m1=Fac(m,p,c,pc),nm1=Fac(n-m,p,c,pc);

	int rc=n1.C-m1.C-nm1.C;

	LL re=1;
	re=n1.X*Inv(m1.X,pc)%pc*Inv(nm1.X,pc)%pc;

	for (int i=1; i<=rc; i++) re=(re*p)%pc;

	return re;
}

int p[MAXN],cnt,ex[MAXN],pex[MAXN];
inline void Divide(int x)
{
	int sx=x;
	for (int i=2; i*i<=sx; i++) {
		if (!(x%i)) {
			p[++cnt]=i;
			while (!(x%i)) ex[cnt]++,x/=i;
			pex[cnt]=Pow(i,ex[cnt]);
		}
	}
	if (x>1) p[++cnt]=x,pex[cnt]=x,ex[cnt]=1;
}

LL an[MAXN];
inline LL CRT(int n,int m)
{
	LL re=0;
	for (int i=1; i<=cnt; i++)
		an[i]=Lucas(n,m,p[i],ex[i],pex[i]);

	for (int i=1; i<=cnt; i++)
		(re+=P/pex[i]*Inv((P/pex[i])%pex[i],pex[i])%P*an[i]%P)%=P;

	return re;
}

int main()
{
	P=read(); Divide(P);

	N=read(),M=read();

	LL tot=0;
	for (int i=1; i<=M; i++) w[i]=read(),tot+=w[i];

	if (tot>N) return puts("Impossible"),0;

	LL ans=CRT(N,tot);
	for (int i=1; i<=M; i++) {
		ans=ans*CRT(tot,w[i])%P;
		tot-=w[i];
	}

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}