codeforces 514E-Darth Vader and Tree

题意：有个无限大的有根树,每个节点都有N个孩子,每个孩子距离父亲节点的距离为di.求距离根节点距离<=x的节点个数.

思路：注意观察数据范围，每一个d[i]均小于等于100所以我们可以设dp[i]表示距离原点i的点的个数，sum[i]表示总和，最后求sum[x]即可。

状态转移方程

 for(int i=;i<=;i++)
     {
         for(int j=;j<=i;j++)
         {
             dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*cnt[j])%MOD;
         }
         sum[i]=(sum[i-]+dp[i])%MOD;
     }

但是因为x太大，而且dp[n+1]是每个dp[i]*cnt[n+1-i]，令N=100，保存n+1前100个数，并用第101列更新sum，用矩阵快速幂求解即可。（C是单位矩阵！！！）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll MOD=(ll)1e9+;

 struct matrix
 {
     ll x,y;
     ll a[][];
     matrix(){
     };
     matrix(ll xx,ll yy):x(xx),y(yy)
     {
         memset(a,,sizeof(a));
     }
 }Base;

 matrix mul (matrix A,matrix B)
 {
     matrix C(A.x,B.y);
     for(int i=;i<=A.x;i++)
     {
         for(int j=;j<=B.y;j++)
         {
             for(int k=;k<=B.x;k++)
             {
                 C.a[i][j]=(C.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%MOD;
             }
         }
     }
     return C;
 }

 ll n,x,cnt[],sum[],dp[];
 void init()
 {
     memset(cnt,,sizeof(cnt));
     scanf("%lld%lld",&n,&x);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int p;
         scanf("%d",&p);
         cnt[p]++;
     }
     memset(sum,,sizeof(sum));
     dp[]=; sum[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         for(int j=;j<=i;j++)
         {
             dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*cnt[j])%MOD;
         }
         sum[i]=(sum[i-]+dp[i])%MOD;
     }

     Base.x=; Base.y=;
     //123...97 98 99  100 101(ans)

     //000...000 len[100] len[100]
     //100...000 len[99] len[99]
     //010...000 len[98] len[98]
     //.........................
     //000...001 len[1] len[1]
     //000...000 0        1
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         Base.a[i+][i]=;
         Base.a[i][]=cnt[-i];
         Base.a[i][]=cnt[-i];
     }
     Base.a[][]=Base.a[][]=cnt[];
     Base.a[][]=;
 }

 matrix qpow (matrix Base,ll b)
 {
     matrix C(Base.x,Base.y);
     for(int i=;i<=;i++) C.a[i][i]=;//danweijuzhen
     while(b)
     {
         if(b%==) C=mul(C,Base);
         b/=;
         Base=mul(Base,Base);
     }
     return C;
 }

 int main()
 {
     init();
     matrix A(,);
     for(int i=;i<=;i++) A.a[][i]=dp[i];
     A.a[][]=sum[];
     if(x<=)
     {
         printf("%lld\n",sum[x]);
         return ;
     }
     A=mul(A,qpow(Base,x-));
     printf("%lld\n",A.a[][]%MOD);
     return ;
 }