codechef Chef and The Colored Grid

难度

\(hard\)

题意

\(3\times n\)的方格，前两行已分别填入\(n-\)排列，要求求第三行填入\(n-\)排列，使得每行每列数不重复的方案数（数据保证前两行合法）\(n\le 1000\)

做法

建立二部图\(G\)：左部分为位置，右部分为数字，边为可行

则转换为求二部图完美匹配方案数

考虑容斥，\(G\)的补图为\(G'\)，其是一个性质很好的二部图：每个左节点恰好连出两条边

设\(F(x)\)为\(K_{n,n}\)完美匹配，恰好用到\(G'\)的\(x\)条边，\(\varphi(x,G')\)为\(G'\)恰好用到\(x\)条边的方案数
显然：\[F(x)=\varphi(x,G')(n-x)!-F(x+1)\binom{x+1}{x}-...-F(n)\binom{n}{x}\]

考虑计算\(\varphi(x,G')\)
设\(C(x,n)\)为阶为\(n\)的圈匹配为\(x\)的方案数；\(L(x,n)\)为阶为\(n\)的链匹配为\(x\)的方案数
显然：\[L(k, n) = L(k-1, n-2) + L(k, n-1)；C(k, n) = L(k, n) + L(k-1, n-2)\]

然后用\(C\)背包一下就行