【bzoj 4671】 异或图

题目

神仙题啊神仙题

显然这个东西一脸不可求的样子啊，这种东西我们显然需要搞一个容斥什么的

于是设\(g_i\)表示至少存在\(i\)个联通块（联通块内部的边没有要求，联通块和联通块之间不存在边）的方案数，\(f_i\)表示恰有\(i\)个联通块

有

\[g_x=\sum_{i=x}^n\begin{Bmatrix}i\\x\end{Bmatrix}f_i
\]

即我们对于那些联通块个数多于\(x\)个的情况，可以把这\(i\)个联通快分成\(k\)组，每一组作为一个新的“联通块”，于是后面那个是一个第二类斯特林数

于是根据斯特林反演，有

\[f_x=\sum_{i=x}^n(-1)^{i-x}\begin{bmatrix}i\\x\end{bmatrix}g_i
\]

对于这道题我们要求的就是\(f_1\)

\[f_1=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}(i-1)!g_i
\]

现在要做的就是求\(g_i\)了

我们注意到这张图的点数很少，我们甚至可以爆搜一下每个点分到哪一个集合里去，我们就可以扫一遍每一张图，对于一条连接两个不同集合的边，我们把这条边用二进制状态存一下，现在只需要求出有多少个子集异或和为\(0\)就好了

这个问题可以用线性基来解决，结论就是如果有\(x\)个元素不能插入线性基，那么异或和为\(0\)的子集数量就是\(2^x\)个

这个可以这样理解啊，我们把不能插入线性基的元素拿出来，这些元素构成的子集个数是\(2^x\)个，显然\(2^x\)个子集也都能被线性基表示出来，我们把线性基里表示这些子集的那些元素和这些子集异或，就得到了\(2^x\)个异或和为\(0\)的子集，由于线性基里没有任何一个子集异或和为\(0\)，于是总共就是\(2^x\)个

这样对于每一个不能插入线性基的元素都有两种选择，于是子集个数是\(2^x\)种

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
#define LL long long
int m,n,len,t;LL ans,cnt;
char S[1005];
LL fac[15],pw[105],lb[50],g[15],b[66];
int a[15],vis[66][15][15];
inline int ins(LL x) {
	for(re int i=t-1;i>=0;--i)
	if(x>>i&1) {
		if(!lb[i]) {lb[i]=x;return 1;}
		x^=lb[i];
	}
	return 0;
}
void dfs(int x,int now) {
	if(x==n+1) {
		t=0;memset(lb,0,sizeof(lb));
		for(re int k=1;k<=m;k++) {
			b[k]=t=0;
			for(re int i=1;i<=n;i++)
				for(re int j=i+1;j<=n;j++)
					if(a[i]!=a[j]) b[k]|=(1ll*vis[k][i][j]<<t),t++;
		}
		int tot=0;
		for(re int k=1;k<=m;k++) if(!ins(b[k])) ++tot;
		g[now]+=pw[tot];
		return;
	}
	for(re int i=1;i<=now;i++) a[x]=i,dfs(x+1,now);
	a[x]=now+1;dfs(x+1,now+1);
}
int main() {
	scanf("%d",&m);
	for(re int k=1;k<=m;k++) {
		scanf("%s",S+1);len=strlen(S+1);
		if(!n) {n=1;while(n*(n-1)/2!=len) n++;}
		int now=1;
		for(re int i=1;i<=n;i++)
			for(re int j=i+1;j<=n;j++)
				vis[k][i][j]=S[now]-'0',now++;
	}
	fac[0]=1;pw[0]=1;
	for(re int i=1;i<=m;i++) pw[i]=pw[i-1]+pw[i-1];
	for(re int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i;
	dfs(1,0);
	for(re int i=1;i<=n;i++) ans+=1ll*((i&1)?1:-1)*fac[i-1]*g[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}