Bellman-Ford（可解决负权边）--时间复杂度优化

Bellman-Ford 可解决带有负权边的最短路问题

　　解决负权边和Dijkstra相比是一个优点，Bellman-Ford的核心代码只有4行：：

u[],v[],w[] 分别存一条边的顶点、权值，dis[]存从 1 源点到各个顶点的距离

for(i=;i<=n-;i++)
    for(j=;j<=m;j++)
        if(dis[v[j]] > dis[u[j]]+w[j])
            dis[v[j]] = dis[u[j]]+w[j];

　　愿过程：

　　　　　　循环n-1次，把每个顶点每条边都松弛；

优化方法：

　　　　　　①，最坏的情况就是循环了n-1次才求出到每个顶点的最短路径，若果在n-1次之前就已经全部松弛完成，那么后面的循环就是多余

　　　　　　　　优化：

for(k=;k<=n-;k++)//共有 n 个顶点，循环n-1次即可
{
        flag = ;
        for(i=;i<=m;i++)//对当前所有的边进行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                flag = ;
            }
        }
        if(flag == ) break;//松弛也完成，结束
}

　　　　  ②，原过程：每次循环松弛过后，都有已经确定了的源点到某点最短的路径，此后这些顶点的最短路的值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响，但是每次还要判断是否需要松弛，这里浪费了时间。

　　　　　优化：确定一条边后总边数减一，把不能进行本次松弛的边再次后头存到原数组，松弛成功的边舍弃，再次松弛时只对未松弛的边进行操作，m的值会随着松弛预越来越小，直到全部完成。

for(k=;k<=n-;k++)//共有 n 个顶点，循环n-1次即可
    {
        m = M;//重新赋值后的 m 是数组中存储边的条数
        s = ;flag = ;
        for(i=;i<=m;i++)//对当前所有的边进行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                M--;    //松弛成功，边数减一
                flag = ;
            }
            else//把本次不能进行松弛的边重新存储到当前的数组
            {
                u[s] = u[i];
                v[s] = v[i];
                w[s] = w[i];
                s++;
            }
        }
        if(flag == ) break;//松弛也完成，结束
    }

附完整代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int dis[],i,k,m,n,s=,u[],v[],w[],M,flag;
    int inf = ;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    M = m;
    for(i=;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);//输入各边及权值
    }
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        dis[i] = inf;//初始化为正无穷
    }
    dis[] = ;//以 1 为源点

    for(k=;k<=n-;k++)//共有 n 个顶点，循环n-1次即可
    {
        m = M;//重新赋值后的 m 是数组中存储边的条数
        s = ;flag = ;
        for(i=;i<=m;i++)//对当前所有的边进行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                M--;    //松弛成功，边数减一
                flag = ;
            }
            else//把本次不能进行松弛的边重新存储到当前的数组
            {
                u[s] = u[i];
                v[s] = v[i];
                w[s] = w[i];
                s++;
            }
        }
        if(flag == ) break;//松弛也完成，结束
    }

    for(i=;i<=n;i++)
    {
        printf("%d ",dis[i]);
    }
    return ;
}

测试数据1：

5 5
2 3 2
1 2 -3
1 5 5
4 5 2
3 4 3

运行结果：

0 -3 -1 2 4

测试数据2：

5 7
1 2 2
1 5 10
2 3 3
2 5 7
3 4 4
4 5 5
5 3 6

运行结果：

0 2 5 9 9