[学习笔记]Pollard-Rho

之前学的都是假的

%%zzt

Miller_Rabin:Miller-Rabin与二次探测

大质数分解：

找到所有质因子，再logn搞出质因子的次数

方法：不断找到一个约数d，递归d,n/d进行分解，直到n是质数

快速幂快速乘：

ll qk(ll a,ll b,ll m){
    ll d=((long double)a/m*b);
    ll r=a*b-d*m;
    return ((ull)r+m)%m;
}
ll qm(ll x,ll y,ll mod){
    ll ret=;
    while(y){
        if(y&) ret=qk(ret,x,mod);
        x=qk(x,x,mod);
        y>>=;
    }
    return ret;
}

注意快速乘：((ull)r+m)%m由于r可能<0或者>m，这一步是必须的

Miller-Rabin：

bool M_R(ll p){
    if(p==) return false;
    if(p==||p==||p==||p==||p==||p==) return true;
    if(p%==||p%==||p%==||p%==) return false;
    int s=ctz(p-);
    for(reg i=;i<;++i){
        int a=pri[i];
        ll k=(p-)>>s;
        k=qm(a,k,p);
        if(k==) continue;
        ll las=k;
        for(reg j=;j<=s;++j){
            k=qk(k,k,p);
            if(k==&&las!=p-&&las!=) return false;
            las=k;
        }
        if(k!=) return false;
    }
    return true;
}

二进制gcd

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!a||!b) return a|b;
    #define ctz __builtin_ctzll
    int shift=ctz(a|b);
    b>>=shift;
    while(a)
    {
        a>>=ctz(a);
        if(a<b)
            swap(a,b);
        a-=b;
    }
    return b<<shift;
    #undef ctz
}

就是高精gcd才用的更相减损术

Pollard-Rho

主体1

ll P_R(ll p,ll c){
    ll x=,y=,d;
    int k=,has=;
    ll tmp=;
    while(){
        ++has;
        x=ad(qk(x,x,p),c,p);
        tmp=qk(tmp,abs(y-x),p);
        if(x==y) return p;
        if(k==has){
            k<<=;
            y=x;
            d=gcd(tmp,p);
            tmp=;
            if(d>) return d;
        }
    }
}

注意tmp，把所有的abs(y-x)乘在一起，gcd显然不变，并且减少了求gcd次数

主体2

void fin(ll p,int cnt){
    if(p==||p<=ans) return;
    if(M_R(p)) {
        ans=max(ans,p);return;
    }
    ll d=P_R(p,cnt);
    while(d==p) --cnt,d=P_R(p,cnt);
    while(p%d==) p/=d;
    fin(p,cnt);fin(d,cnt);
}

如果要求质因子，开个vector，最后去重即可

模板：

【模板】Pollard-Rho算法

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
template<class T>il void output(T x){if(x/)output(x/);putchar(x%+'');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}
namespace Modulo{
const int mod=;
int ad(int x,int y){return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;}
void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);}
int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
int qm(int x,int y=mod-){int ret=;while(y){if(y&) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=;}return ret;}
}
//using namespace Modulo;
namespace Miracle{
ll ans;
ll qk(ll x,ll y,ll mod){
    ll d=((long double)x*y/mod);
    ll r=x*y-mod*d;
    return r<?r+mod:(r>=mod?r-mod:r);
}
ll qm(ll x,ll y,ll mod){
    ll ret=;
    while(y){
        if(y&) ret=qk(ret,x,mod);
        x=qk(x,x,mod);
        y>>=;
    }
    return ret;
}
ll ad(ll x,ll y,ll mod){
    return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;
}
ll gcd(ll a,ll b){
    if(!a||!b) return a+b;
    #define ctz __builtin_ctzll
    int tmp=ctz(a|b);
    b>>=ctz(b);
    while(a){
        a>>=ctz(a);
        if(a<b) swap(a,b);
        a-=b;
    }
    return b<<tmp;
}
int pri[]={,,,,,};
bool M_R(ll p){
    // cout<<"M_R "<<p<<endl;
    if(p==) return false;
    if(p==||p==||p==||p==||p==||p==) return true;
    if(p%==||p%==||p%==||p%==) return false;
    int s=ctz(p-);
    for(reg i=;i<;++i){
        ll a=pri[i];
        ll tmp=(p-)>>s;
        ll now=qm(a,tmp,p);
        if(now==||now==p-) continue;
        for(reg j=;j<=s;++j){
            ll las=now;
            now=qk(now,now,p);
            if(now==&&las!=p-&&las!=) return false;
        }
        if(now!=) return false;
    }
    return true;
}
ll P_R(ll p,ll c){
    // cout<<" P_R "<<p<<" "<<c<<endl;
    ll x,y,d;
    ll tmp=,has=,k=;
    x=y=;
    while(){
        ++has;
        x=ad(qk(x,x,p),c,p);
        tmp=qk(tmp,abs(y-x),p);
        if(x==y) return p;
        if(has==k){
            k<<=;
            d=gcd(tmp,p);
            if(d>) {
                // cout<<" ret "<<d<<endl;
                return d;
            }
            tmp=;
            y=x;
        }
    }
}
void sol(ll n,int c){
    if(n==||n<=ans) return;
    if(M_R(n)){
        ans=max(ans,n);return;
    }
    ll d=P_R(n,c);
    while(d==n) --c,d=P_R(n,c);
    while(n%d==) n/=d;
    sol(n,c);sol(d,c);
}
int main(){
    int t;
    rd(t);
    srand();
    while(t--){
        ans=;ll n;rd(n);
        sol(n,);
        if(ans!=n) printf("%lld\n",ans);
        else printf("Prime\n");
    }
    return ;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return ;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/