浅谈压缩感知（六）：TVAL3

这一节主要介绍一下压缩感知中的一种基于全变分正则化的重建算法——TVAL3。

主要内容：

1. TVAL3概要
2. 压缩感知方法
3. TVAL3算法
4. 快速哈达玛变换
5. 实验结果
6. 总结

1、TVAL3概要

全称：

Total variation Augmented Lagrangian Alternating Direction Algorithm

问题：

压缩感知、单像素相机

模型：

全变分正则化 Total Variation Regularization

方法：

增强拉格朗日Augmented Lagrangian method

交替方向变换Alternating Direction method

优势：

1. 速度快，重建质量高
2. 灵活性：支持多种测量矩阵、支持多种约束条件

2、压缩感知方法

3、TVAL3算法

1、模型：全变分正则化Total Variation Regularization

A: 测量矩阵measurement matrix

U: 信号或图像Signal or Image

b: 测量值measurements

DiU:图像的变分或梯度值 gradient of U at pixel i

|.|: 范式1-norm or 2-norm

其中全变分公式即DiU的计算如下：

2、方法：

• 增强拉格朗日Augmented Lagrangian method（将带约束的模型转换为不带约束的目标函数）
• 交替方向变换Alternating Direction method（求解目标函数）

增强拉格朗日Augmented Lagrangian method：

引入松弛变量w，模型变成：

、

目标函数则变成：

交替方向变换Alternating Direction method：

通过引入松弛变量和增强拉格朗日方法，目标转换为：

采用交替方向变换方法，可以将问题转为两个子问题来求解，即求W和求U，通过迭代的方式，先求W，再求U，依次迭代。

W的子问题：

U的子问题：

W子问题的求解：

U子问题的求解：

算法步骤：

3、算法流程

4、快速哈达玛变换

为了提高算法的运行速度，TVAL3采用了哈达玛矩阵作为测量矩阵，因为哈达玛变换有快速变换的优点。

哈达玛矩阵的特点及形式：

哈达玛快速变换：

5、实验结果

6、总结