【CF819C】Mister B and Beacons on Field 数学

【CF819C】Mister B and Beacons on Field

题意：外星人盯上了Farmer Jack的农场！我们假设FJ的农场是一个二维直角坐标系，FJ的家在原点。外星人向FJ的农场上投放了3个信标，不幸的是，有一个信标落地就完全损坏了，且不知道具体位置，其余两个信标分别被投放到了 $(m,0)​$ 和 $(0,n)$ 处。

FJ对这些新的金闪闪的东西很感兴趣，他决定将这两个信标搬到家里去。具体地，FJ先从 $(0,0)$ 沿着 $x$ 轴走到 $(m,0)$ ，捡起信标，然后沿着 $x$ 轴返回 $(0,0)$ ，把信标放到家中。再从 $(0,0)$ 沿着 $y$ 轴走到 $(0,n)$ ，捡起信标，然后沿着 $y$ 轴返回 $(0,0)$ ，把信标放到家中。

然而那两个没有损坏的信标在一直与外星人保持联系，它们一直在试图寻找那个损坏的信标的位置。具体地，当两个未损坏的信标的坐标都是整数时，如果存在平面上的一个整点，满足这个点与两个未损坏的信标组成的三角形面积为 $s$ ，则两个信标会向外星人发送一次信息。现在外星人想知道，在搬运的整个过程中，这两个信标一共会向外星人发送多少次信息？

t组数据，$n=n_1\cdot n_2\cdot n_3$,$m,s$同理，$n_1,n_2,n_3...\le 10^6$

题解：先s*=2，然后分成两段考虑：

从 $(n,0)$ 到 $(0,0)$ ：因为这段简单就先考虑这段。如果当前走到 $(0,i)$ ，显然$i|s$就好了，所以枚举s的所有$\le n$约数即可。

从 $(m,0)$ 到 $(0,0)$ ：考虑将面积转化成叉积的形式。如果当前走到 $(i,0)$ ，就变成问你$i\cdot y+(x-i)n=s$有没有整数解。根据裴蜀定理这个东西有整数解当且仅当$gcd(i,n)|s$。然后考虑容斥，如果$d=gcd(i,n)\nmid s$，则d中至少有一个质因子的系数大于s对应项的系数。所以答案等于至少0项的-至少1项的+至少2项的。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,s,ans;
int tot;
int pn[60],pm[60],ps[60],pri[60];
ll xp[60];
int vis[1000010];
inline void solve(int *cnt,int x)
{
	for(int i=2;i*i<=x;i++)	if(x%i==0)
	{
		if(!vis[i])	vis[i]=++tot,pri[tot]=i;
		while(x%i==0)	x/=i,cnt[vis[i]]++;
	}
	if(x>1)
	{
		if(!vis[x])	vis[x]=++tot,pri[tot]=x;
		cnt[vis[x]]++;
	}
}
inline void init()
{
	memset(pn,0,sizeof(pn)),memset(pm,0,sizeof(pm)),memset(ps,0,sizeof(ps));
	for(int i=1;i<=tot;i++)	vis[pri[i]]=0;
}
void dfs1(int x,ll now)
{
	if(now>n)	return ;
	if(x>tot)
	{
		ans++;
		return ;
	}
	dfs1(x+1,now);
	for(int i=1;i<=ps[x];i++)	dfs1(x+1,now*=pri[x]);
}
void dfs2(int x,ll now,int flag)
{
	if(now>m)	return ;
	if(x>tot)
	{
		ans+=flag*(m/now);
		return ;
	}
	dfs2(x+1,now,flag);
	if(pn[x]>ps[x])	dfs2(x+1,now*xp[x]*pri[x],-flag);
}
inline void work()
{
	int t;
	n=m=s=1,ans=tot=0;
	scanf("%d",&t),solve(pn,t),n*=t,scanf("%d",&t),solve(pn,t),n*=t,scanf("%d",&t),solve(pn,t),n*=t;
	scanf("%d",&t),solve(pm,t),m*=t,scanf("%d",&t),solve(pm,t),m*=t,scanf("%d",&t),solve(pm,t),m*=t;
	scanf("%d",&t),solve(ps,t),s*=t,scanf("%d",&t),solve(ps,t),s*=t,scanf("%d",&t),solve(ps,t),s*=t;
	solve(ps,2),s<<=1;
	dfs1(1,1);
	for(int i=1,j;i<=tot;i++)	for(j=xp[i]=1;j<=ps[i];j++)	xp[i]*=pri[i];
	dfs2(1,1,1);
	printf("%lld\n",ans);
	init();
}
int main()
{
	freopen("beacon.in","r",stdin);
	freopen("beacon.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)	work();
	return 0;
}//1 10 6 18 2 103 2 13 1 13