BZOJ2720 [Violet 5] 列队春游 题解

Problem

对于一个数列 \(S\)，\(S_0= \infty\)，设对于 \(S_i\)，\(S_{a_i}\) 是 \(S_i\) 之前第一个大于等于 \(S_i\) 的数。给定 \(S\) 中的元素，求 \(\sum_{i=1}^{n}(i-a_i)\) 的期望。

Solution

我们考虑对于每一种身高的学生，分别统计期望。显然，对于身高为 \(h\) 的学生，只有身高为 \(h-1\) 及以下的学生可以产生贡献，且每个人产生的贡献都是 \(1\)。

设对于当前的 \(h\)，共有 \(s\) 个可以产生贡献的学生，剩下便有 \(n-s\) 个学生（包括当前索要贡献的学生）。这些学生之间共 \(n-s+1\) 个空。而一个学生想要产生贡献，就必须恰好站在索要贡献的学生之前的空里，贡献为 \(\frac{1}{n-s+1}\) 。若身高为 \(h\) 的学生共有 \(b\) 个，则此类学生对所有身高为 \(h\) 的学生所产生的贡献为 \(\frac{s \times b}{n-s+1}\)。

另外，每个人不论如何都有 \(1\) 的贡献，应当加上。

实现时，可以记录每种身高学生的个数并依次累加贡献，时间复杂度为基于身高值域的线性复杂度。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b[2000],sum,maxn;
double ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a);
        ++b[a];
        maxn=max(maxn,a);
    }
    for(int i=1;i<=maxn;++i){
        ans+=1.0*sum*b[i]/(n-sum+1)+b[i];
        sum+=b[i];
    }
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}