闲话 6.30 -JL 引理

参考了 https://spaces.ac.cn/archives/8679/comment-page-1，有一些增删。

JL 引理

首先下面需要应用马尔可夫不等式的另一个形式：

\[\newcommand \E{\mathbb E}
P(x\ge a)=P(e^{\lambda x}\ge e^{\lambda a})(\lambda >0)\le \min_{\lambda >0}e^{\lambda a}\E[e^{\lambda x}]
\]

主要的贡献是把马尔可夫不等式变成适配于正态分布的 exp 的形式。

单位模引理

单位模引理：对于 \(u\in \R^n\)，每一维从 \(N(0,1/n)\) 随机采样，则

\[\newcommand\eps{\epsilon}\newcommand\la{\lambda}\newcommand\par{\parallel}
\forall \eps \in (0,1)\\
P(\big|\par u\par^2-1\big|\ge\eps)\le 2\exp(-\eps^2n/8)
\]

绝对值两边大概是差不多的（？），先看看 \(\par u\par ^2-1>\eps\)。

套用上述结论有：

\[P(\par u\par ^2-1>\eps)\le \min_{\la >0}e^{-\la (\eps+1)}\E[e^{\la\par u\par^2}]\\
\]

化简 \(\E[e^{\la\par u\par^2}]\)，将 \(u\) 正交分解为 \(u_{1:n}\)。

\[\E[e^{\la\par u\par^2}]=\prod_{i=1}^n \E[e^{\la u_i^2}]=\E[e^{\la u_i^2}]^n\\
=\left(\int_{-\infty}^{\infty}P(u_i=t)e^{\la t^2}dt\right)^n\\
=\left(\int _{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\frac{nt^2}{2}}e^{\la t^2}dt\right)^n=\left(\int _{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-(\frac n2-\la)\frac{t^2}2}dt\right)^n
\]

考虑正态分布 \(N(0,\sigma^2)\) 满足 \(\frac{1}{2\sigma^2}=\frac{n-2\la}{2}\)，即 \(\sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n-2\la}}\)。比较

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dt=1
\]

上式的系数，得到：

\[\E[e^{\la u_i^2}]=\int _{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-(\frac n2-\la)\frac{t^2}2}dt=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-2\la}}=\sqrt{\frac{n}{n-2\la}}
\]

那么

\[P(\par u\par ^2-1>\eps)\le \min_{\la >0}e^{-\la (\eps+1)}\left(\frac n{n-2\la}\right)^{n/2}\\
\]

设 \(f(\la)=e^{-\la (\eps+1)}\left(\dfrac n{n-2\la}\right)^{n/2}\)。则（好像有误）

\[f'(\la)=e^{-\la(\eps+1)}\left(\dfrac n{n-2\la}\right)^{n/2-1}\left(\frac{n^2}{(n-2\la)^2}-\frac{n(\eps+1)}{n-2\la}{}\right)
\]

所以不妨取

\[\la=\frac{n\eps}{2(\eps+1)}
\]

所以：

\[P(\par u\par ^2-1>\eps)\le e^{-n\eps/2}e^{n\ln(\eps+1)/2}=e^{n(\ln(1+\eps)-\eps)/2}\\
\]

而设 \(g(\eps)=\ln(\eps+1)-\eps+\eps^2/4\)。

\[g'(\eps)=\frac1{1+\eps}-1+\frac\eps2\le 0(0<\eps<1)
\]

所以 \(g(\eps)\le g(0)=0\)，所以：

\[P(\par u\par ^2-1\ge\eps)\le \exp(-n\eps^2/8)
\]

JL 引理

一个压缩版本(遇证明变答辩糕)：表示 \(N\) 个向量（维持距离）只需 \(O(\log N)\) 个维数。

对于 \(N\) 个向量 \(v_{1:N}\in \R^m,n>\frac{24\ln N}{\eps^2}\)，随机矩阵 \(A\in R^{n\times m}\) 采样于 \(N(0,1/n)\)，\(\eps\in (0,1)\)，则至少有 \(\frac{N-1}{N}\) 的概率满足：

\[\forall i\neq j,\\
(1-\eps)\par v_i-v_j\par ^2\le \par Av_i-Av_j\par ^2 \le(1+\eps)\par v_i-v_j\par
\]

证明：

容易发现，\(\forall u\in \R^m\)，\((Au)_i\) 服从 \(N(0,1/n)\)。

使用 Union Bound，带入 \(u=\frac{v_i-v_j}{\par v_i-v_j\par}\)。那么：

\[P\left(\exists i\neq j,\left| \frac{A(v_i-v_j)}{\par v_i-v_j\par}-1\right|\ge \eps\right)\le 2\binom N2\exp(-\eps^2n/8)
\]

若 \(n>\dfrac{24\ln N}{\eps^2}\)，有：

\[1-N(N-1)\exp(-\eps^2n/8)>1-\frac{N(N-1)}{N^3}>\frac{N-1}{N}
\]

结束。

但是在计算中，\(24\ln N/\eps^2\) 并不是非常小的值，如果不使用一些更加高级的降维算法的话，差不多只有在 \(\eps>0.5\)，并且数量很多的时候才能发挥作用了（悲）。

题外话- Box-Muller

假如我就要朴素的实现，不要其他降维算法（感觉再往后都是机器学习的内容，跟 OI 没有什么关系。。。）！我就需要快速生成正态分布随机数。

这里直接给公式：设 \(x,y\) 是 \((0,1)\) 的随机数：

\[x_0=\sigma \sqrt{-2\ln x}\cos(2\pi y)+\mu
\]

\[y_0=\sigma \sqrt{-2\ln x}\sin(2\pi y)+\mu
\]

\((x_0,y_0)\) 就是要求的正态分布的点啦。

chatgpt 魅力时刻

我们用博特的代码来感受一下正确性！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <random>

// Box-Muller 生成正态分布随机数
double boxMuller() {
    static std::random_device rd;
    static std::mt19937 gen(rd());
    static std::uniform_real_distribution<> dis(0, 1);

    double u = dis(gen);
    double v = dis(gen);
    return sqrt(-2.0 * log(u)) * cos(2.0 * M_PI * v);
}

// 计算两个向量的欧氏距离
double euclideanDistance(const std::vector<double>& a, const std::vector<double>& b) {
    double sum = 0.0;
    for (size_t i = 0; i < a.size(); ++i) {
        sum += (a[i] - b[i]) * (a[i] - b[i]);
    }
    return sqrt(sum);
}

// 随机生成 N 个 K 维向量
std::vector<std::vector<double>> generateRandomVectors(int N, int K) {
    std::vector<std::vector<double>> vectors(N, std::vector<double>(K));
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < K; ++j) {
            vectors[i][j] = boxMuller();
        }
    }
    return vectors;
}

// 使用 JL 引理降维
std::vector<std::vector<double>> jlTransform(const std::vector<std::vector<double>>& vectors, int D) {
    int N = vectors.size();
    int K = vectors[0].size();

    std::vector<std::vector<double>> transformed(N, std::vector<double>(D));

    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < D; ++j) {
            transformed[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < K; ++k) {
                transformed[i][j] += vectors[i][k] * boxMuller();
            }
            transformed[i][j] /= sqrt(D);
        }
    }

    return transformed;
}

// 计算所有向量之间的欧氏距离和
double totalEuclideanDistance(const std::vector<std::vector<double>>& vectors) {
    double totalDistance = 0.0;
    int N = vectors.size();

    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = i + 1; j < N; ++j) {
            totalDistance += euclideanDistance(vectors[i], vectors[j]);
        }
    }

    return totalDistance;
}

int main() {
    int N, K;
    std::cin >> N >> K;

    double epsilon = 0.5;
    int D = static_cast<int>(24 * log(N) / (epsilon * epsilon));

	std::cerr<<"新维度 = "<<D<<std::endl;

    auto vectors = generateRandomVectors(N, K);
    auto transformedVectors = jlTransform(vectors, D);

    double originalDistanceSum = totalEuclideanDistance(vectors);
    double transformedDistanceSum = totalEuclideanDistance(transformedVectors);

    std::cout << "Real: " << originalDistanceSum << std::endl;
    std::cout << "Calc: " << transformedDistanceSum << std::endl;

    return 0;
}

输入 100 2000，得到的结果是

Real: 312086
Calc: 312885

把上文代码的 \(24\) 改为 \(12\) 的结果也是较为精确的。

Real: 313473
Calc: 310509

具体来说，当那个值取 \(24\) 的时候把 \(2000\) 维降到了 \(447\) 维，可谓表现相当不错（至少在我们的随机数据情况下）。