[题解]P1641 生成字符串

P1641 [SCOI2010] 生成字符串

由题意可设\(f[i][j]\)表示用了\(i\)个\(0\)，\(j\)个\(1\)的答案，那么有转移：

\[f[i][j]=\begin{cases}
0&i>j\\
f[i][j-1]&i=j\\
f[i-1][j]+f[i][j-1]&i<j\\
\end{cases}\]

状态数是\(O(n^2)\)，转移是\(O(1)\)，总时间复杂度\(O(n^2)\)，期望得分\(30\text{ pts}\)。

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我们用数形结合的方式思考：

如图，我们将填\(1\)视为向右走\(1\)个单位长度，填\(0\)视为向上走\(1\)个单位长度，最终到达\((n,m)\)视为完成，此时点的轨迹形成了一条折线。每条折线对应一种方案，总方案数是\(C_{n+m}^n\)。

显然，当前方案是合法的\(\iff\)折线的每个顶点都不在直线\(y=x\)上方。

换句话说，当前方案不合法\(\iff\)折线与\(y=x+1\)有交点。

对于每个不合法的方案，我们选定其中一个交点，将它之前的折线沿着\(y=x+1\)翻折，得到图中橙色的虚线。我们将橙色折线与剩余的红色折线形成的部分记作折线\(b\)。

可以发现，\(b\)可以取到的形态，与不合法的方案是一一对应的。

所以不合法的方案数就是从\((-1,-1)\)走到\((n,m)\)的方案数，即\(C_{n+m}^{n+1}\)。

因此合法方案数就是\(C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1}\)，可以化简得到\(\frac{(n+m)!\times (n-m+1)}{(n+1)!\times m!}\)。

Catalan数\(H_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)可以由此题的结论推得，相当于此题\(n=m\)的情况。

计算它需要使用逆元，此处使用费马小定理。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 1000010
#define mod 20100403
using namespace std;
int n,m,inv[N],inv_fact[N];
int fac(int r){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=r;i++) ans=ans*i%mod;
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	inv_fact[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+1;i++) inv[i]=(-mod/i*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
	for(int i=2;i<=n+1;i++) inv_fact[i]=inv_fact[i-1]*inv[i]%mod;
	cout<<fac(n+m)*(n-m+1)%mod*inv_fact[n+1]%mod*inv_fact[m]%mod<<"\n";
	return 0;
}