Balanced Subsequences

Balanced Subsequences

题意

给定 \(n,m,k\)，求有多少个由 \(n\) 个 (，\(m\) 个 ) 组成的序列满足最长的合法括号子序列的长度恰为 \(2k\)。

对 \(10^9+7\) 取模，\(n,m,k\leq 2000\)。

思路

注意子序列不一定连续。

恰好最长合法括号子序列长度为 \(2k\)，那么废掉的 ) 个数为 \(m-k\)。

恰好的方案数 \(f_k\) 不好求，我们可以求 \(g_k\) 表示长度至少为 \(2k\) 的方案数。

( 表示向上走，) 表示向下走，\(g_k\) 即为从 \((0,0)\) 走到 \((n+m,n-m)\)，且废掉的右括号数 \(-y\le m-k\)，即不超过直线 \(y=k-m\)。

\(g_k=\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{k-1}\)。

\(f_k=g_k-g_{k+1}=\binom{n+m}{k}-\binom{n+m}{k-1}\)。

注意判无解 \(k> \min(n,m)\)。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+5,mxx=N<<2,mod=1e9+7;
int t;
ll jc[mxx+5],inv[mxx+5];
ll ksm(ll a,ll b){
	ll s=1;
	while(b){
		if(b&1){
			s=s*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
void init(){
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=mxx;i++){
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	}
	inv[mxx]=ksm(jc[mxx],mod-2);
	for(int i=mxx-1;i>=0;i--){
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}
int n,m,k;
ll C(ll n,ll m){
	if(m>n) return 0;
	return jc[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;
}
int main(){
	init();
	sf("%d",&t);
	while(t--){
		sf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		if(k>min(n,m)) {
			pf("0\n");
			continue;
		}
		pf("%lld\n",(C(n+m,k)-C(n+m,k-1)+mod)%mod);
	}
}