PARTITION(number theory) ALSO Explosive number in codewars

问题出于codewars，简言之：寻找和为一个整数的的不同整数组合。https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)　

例如：和为6的整数组合有如下11种，

6

5 + 1

4 + 2

4 + 1 + 1

3 + 3

3 + 2 + 1

3 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

2 + 2 + 1 + 1

2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

解法一：

为了避免重复，我们可以选择逐渐递减第一个加数，直到不小于ｎ的一半（保持分解的数字），然后对第一个加数应用这个策略，还是以６为例：

6

5 + 1

4 + 2

3 + 3

然后对第一个加数５应用这个策略，

4 + 1

3 + 2

接着对分解４和３应用这一策略，得到如下：

6

5 + 1

　4 + 1 + 1

　　3 + 1 + 1 + 1

　　　2 + 1 + 1 + 1 + 1

　　　　1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

　　2 + 2 + 1 + 1

　3 + 2 + 1

4 + 2

　　2 + 2 + 2

3 + 3

因为我们已经有了３＋２＋１，对于４而言就不在分解成３＋１＋２，此处的限制条件分解４不能产生比２（４后面的２）小的数字，所以只能是２＋２，同理，３就不再分解了，因为分解不出比３（后面那个）还大的数了。

 def exp_sum(n):
     if n < 0:
         return 0
     if n == 0:
         return 1
     return help(n, 1)

 def help(n, mini):
     tmp = 1
     if n <= 1:
         return 1
     for i in range(1, n/2+1):##保证n-i不小于ｉ
         if i >= mini:　＃＃保证分解得到的数不小于后面的较小的数
             tmp = tmp + help(n-i, i)
     return tmp
 print exp_sum(6)

当然了，这个递归的速度是很慢的，T(n) = T(n-1) + T(n-2) +...+ T(ceil(n/2))，时间复杂度是指数级别的。

解法二：

可以开辟一个大小为ｎ的list存储已经计算的结果：

 def exp_sum(n):
     if n < 0:
         return 0
     if n == 0 or n == 1:
         return 1
     solution = [1] + [0]*n

     for i in range(1, n):
         for j in range(i, n+1):
             solution[j] += solution[j-i]
     return solution[n]+1

解法三：

根据维基百科上的generation function：p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k − 15) − p(k − 22) − ... + (-1)^(k+1)*p(k − (3k^2 - k)/2) + (-1)^(k+1)*p(k − (3k^2 + k)/2)

 def exp_sum(n):
     solutions = [1]*(n + 1)

     for i in xrange(1, n + 1):
         j, k, s = 1, 1, 0
         while j > 0:
                 j = i - (3 * k * k + k) / 2
                 if j >= 0:
                         s += (-1) ** (k+1) * solutions[j]
                 j = i - (3 * k * k - k) / 2
                 if j >= 0:
                         s += (-1) ** (k+1) * solutions[j]
                 k += 1
         solutions[i] = s

     return solutions[n]

参考链接：

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

　　http://stackoverflow.com/questions/438540/projecteuler-sum-combinations

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2015-07-15 17:03:25