BZOJ1662: [Usaco2006 Nov]Round Numbers

1662: [Usaco2006 Nov]Round Numbers

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Description

正如你所知，奶牛们没有手指以至于不能玩“石头剪刀布”来任意地决定例如谁先挤奶的顺序。她们甚至也不能通过仍硬币的方式。所以她们通过"round number"竞赛的方式。第一头牛选取一个整数，小于20亿。第二头牛也这样选取一个整数。如果这两个数都是 "round numbers"，那么第一头牛获胜，否则第二头牛获胜。如果一个正整数N的二进制表示中，0的个数大于或等于1的个数，那么N就被称为 "round number" 。例如，整数9，二进制表示是1001，1001 有两个'0'和两个'1'; 因此，9是一个round number。26 的二进制表示是 11010 ; 由于它有2个'0'和 3个'1'，所以它不是round number。很明显，奶牛们会花费很大精力去转换进制，从而确定谁是胜者。 Bessie 想要作弊，而且认为只要她能够知道在一个指定区间范围内的"round numbers"个数。帮助她写一个程序，能够告诉她在一个闭区间中有多少Hround numbers。区间是 [start, finish]，包含这两个数。 (1 <= Start < Finish <= 2,000,000,000)

Input

* Line 1: 两个用空格分开的整数，分别表示Start 和 Finish。

Output

* Line 1: Start..Finish范围内round numbers的个数

Sample Input

2 12

Sample Output

输出解释:

2 10 1x0 + 1x1 ROUND
3 11 0x0 + 2x1 NOT round
4 100 2x0 + 1x1 ROUND
5 101 1x0 + 2x1 NOT round
6 110 1x0 + 2x1 NOT round
7 111 0x0 + 3x1 NOT round
8 1000 3x0 + 1x1 ROUND
9 1001 2x0 + 2x1 ROUND
10 1010 2x0 + 2x1 ROUND
11 1011 1x0 + 3x1 NOT round
12 1100 2x0 + 2x1 ROUND

HINT

Source

Silver

题解：

看着别人的题解不满意于是自己来写份。。。

很明显的数位统计，与花神的数论题差不多。

首先将问题转化为ans（r）-ans（l-1）

然后考虑如何求1-x中转化为2进制sum（0）>sum（1）的个数的数

假设 x 的二进制为a数组

则从最高位开始枚举为1的位

假设当前枚举到 i 位，那我们就统计前i-1位与x都相同，但i位为0的满足条件的数

首先这样的数肯定是<x,那怎么统计0的个数>1的个数的数的个数呢

很简单，记当前0的个数为s0，1的个数为s1，还剩w个自由选择的位，则要满足条件，需要s0+s‘0>=s1+w-s'0，即s'0>=(s1-s0+w)/2,

那我们只要 c(w,(s1-s0+w)/2）*2^(w-(s1-s0+w)/2)，意思是事先选出（s1-s0+w）/2个位置全放上0，然后剩下的随便。

当然还有许多细节需要考虑，比如最高位显然选为0的话，它是不能计入最后的答案的，所以我们要特判最高位，即我们需要统计小于等于10000000……的满足题意的数

可以转化为10000000……-1=11111111……对它进行统计答案，再加上1，当然最后的1要特判。

代码的实现估计会有很多细节，待UPD。。。

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UPD：以上内容实属脑残。。。

应该是令t=(s1-s0+w)/2，则 ans+=c(w,t)+c(w,t+1)+c(w,t+2)……c(w,w)

最高位特判的时候应该枚举这个数的最高位，直接用组合数得出答案

把组合数处理成前缀和的形式就很好搞了。

具体可以见代码

代码：

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<vector>

 #include<map>

 #include<set>

 #include<queue>

 #include<string>

 #define inf 1000000000

 #define maxn 500+100

 #define maxm 500+100

 #define eps 1e-10

 #define ll long long

 #define pa pair<int,int>

 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

 #define mod 1000000007

 using namespace std;

 inline ll read()

 {

     ll x=,f=;char ch=getchar();

     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

     while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();}

     return x*f;

 }

 ll c[][],cc[][],s[],a[],l,r;

 ll work(ll n)

 {

     a[]=;

     while(n)a[++a[]]=n&,n>>=;

     ll t=;

     for1(i,a[]-)

      {

          int x=i;

         if(x&)x=(x>>)+;else x>>=;

          t+=cc[i-][x];

      }

     s[]=;s[]=;

     for3(i,a[]-,)

     {

         if(a[i])

          {

              int x=s[]-s[]-+i-;

              if(x<=)x=;

              else if(x&)x=(x>>)+;

                 else x>>=;

              t+=cc[i-][x];

          }

         s[a[i]]++;

     }

     if(s[]>=s[])t++;

     t++;

     return t;

 }

 int main()

 {

     freopen("input.txt","r",stdin);

     freopen("output.txt","w",stdout);

     cc[][]=c[][]=;

     for1(i,)

      {

          c[i][]=c[i][i]=;

          for1(j,i-)c[i][j]=c[i-][j]+c[i-][j-];

          cc[i][i]=;

          for3(j,i-,)cc[i][j]=cc[i][j+]+c[i][j];

      }

     l=read();r=read();

     printf("%lld\n",work(r)-work(l-));

     return ;

 }