【agc030f】Permutation and Minimum（动态规划）

【agc030f】Permutation and Minimum（动态规划）

题面

atcoder

给定一个长度为\(2n\)的残缺的排列\(A\)，定义\(b_i=min\{A_{2i-1},A_{2i}\}\)，求有多少种不同的\(b\)。

题解

考虑这个\(b\)的取值是两两配对之后求\(min\)，所以我们把所有的数按照从大往小处理，这样子就可以在每一对数填好的时候计算贡献。

首先把已经确定的\(b\)直接丢掉。这样子剩下了若干个填了一半和没有填的对。

设\(f[i][j][k]\)表示当前考虑到第\(i\)个数，还剩下\(j\)对填了一个数的\((-1,-1)\)对和\(k\)对未匹配的\((x,-1)\)对。

暂时不用考虑对与对之间的顺序关系，最后把由两个\(-1\)组成的配对拿出来乘一个阶乘就好了。

考虑新加入的这个数。它有两种贡献，第一种是和一个填了一半的进行配对，另外一个是自己产生一个填了一半的配对。

分类讨论，考虑它是不是\((x,-1)\)对中的一个\(x\)。

如果不是，那么可以考虑填入一个\((-1,-1)\)对中的一个，那么转移到\(f[i][j+1][k]\)，要么匹配掉一个\((-1,-1)\)对，变成\(f[i][j-1][k]\)，要么匹配一个\((x,-1)\)对，这里有\(k\)种匹配方法，所以乘\(k\)后转移到\(f[i][j][k-1]\)。

如果是，那么要么不匹配，转移到\(f[i][j][k+1]\)，要么拉一个填了一半的\((-1,-1)\)对过来，转移到\(f[i][j-1][k]\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 305
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,m,ans,a[MAX<<1];
int cnt1,cnt2,f[MAX<<1][MAX][MAX];
int S[MAX<<1];
bool vis[MAX<<1],book[MAX<<1];
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n+n;++i)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n+n;i+=2)
		if(a[i]==-1&&a[i+1]==-1)++cnt1;
		else if(a[i]>0&&a[i+1]>0)vis[a[i]]=vis[a[i+1]]=true;
		else ++cnt2,book[(~a[i])?a[i]:a[i+1]]=true;
	for(int i=n+n;i;--i)if(!vis[i])S[++m]=i;
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=0;j<=cnt1+cnt2;++j)
			for(int k=0;k<=cnt2;++k)
			{
				if(!f[i-1][j][k])continue;
				if(!book[S[i]])
				{
					add(f[i][j+1][k],f[i-1][j][k]);
					if(j)add(f[i][j-1][k],f[i-1][j][k]);
					if(k)add(f[i][j][k-1],1ll*k*f[i-1][j][k]%MOD);
				}
				else
				{
					add(f[i][j][k+1],f[i-1][j][k]);
					if(j)add(f[i][j-1][k],f[i-1][j][k]);
				}
			}
	ans=f[m][0][0];for(int i=1;i<=cnt1;++i)ans=1ll*ans*i%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}