【LOJ 3049】「十二省联考 2019」字符串问题

这个D1T2绝对有毒。。。

首先我们构造一把反串的后缀自动机。

然后我们就需要找到每一个子串在SAM上的节点。

这个可以通过扫描线+树上倍增处理。

首先我们把所有的子串按照左端点排序，

然后从右往左扫描，在扫到\(i\)的时候：

我们取到\([i,n]\)的子串代表的节点，

那么所有的\([i,j]\)的子串都是这个节点在反串中的后缀！

所以所有的\([i,j]\)的子串对应的节点都是\([i,n]\)在\(parent\)树上的祖先。

那么就可以记\(f[i][j]\)为从\(i\)向上走\(2^j\)次\(suffix\) \(link\)得到的节点。

然后倍增出每一个\([i,j]\)的子串对应的节点就好了。

但这样会导致一些不同的子串对应到了同一个节点\(i\)，

我们假设\(i\)表示的子串们存在\(v_i\)中。

那么我们考虑构图。

首先我们把所有\(v_i\)按照长度从小到大排序，小的就是大的前缀

（根据后缀自动机节点的定义，以及构的是反串的SAM）

那么我们就可以把所有的B类向后面的所有A类连边。

但是这样的边数就是平方级的，所以要改一下：

所有的B类向下一个B类连边，以及向所有的下一个B类之前的A类连边。

还需要为每一个SAM上的节点向所有第一个B类之前的A类连边。

这样就可以做到同一个SAM上的节点内的前缀关系。

那么看不同节点的前缀关系怎么求。

这样就可以很自然地想到\(suffix\) \(link\)。

把所有节点表示的最后一个B类向所有\(link\)指向它的节点连边。

因为这样可以从所有节点的所有B类走到另外所有节点的A类。

那么最后把控制关系连下边就可以直接\(dag\)上\(dp\)了。

如果存在环则答案必须是\(-1\)。因为环必须是包含A类串的。

dxm

把每个SAM上的节点拆成\(in_i\)和\(out_i\)两个，

然后从\(in\)到\(out\)连边，

并且从\(out\)向所有\(link\)指向它的\(in\)连边。

我们现在考虑怎么把节点内部的A和B处理好。

我们肯定要从所有的B连向所有的A，而不能从A跑到另一个能计入答案的A，

所以我们把A分成\(in\)和\(out\)，

只有\(out\)是计入答案的，

那么我们对于同一个SAM上的节点这样连边：

• 从每个A的\(in\)连到\(out\)，并从\(out\)向所有支配的B连边。
• 从每个B，向长度大于等于它的第一个A的\(in\)连边，还要向该节点的\(out\)连边（要不然出不去
• 从这个节点的\(in\)向所有的A的\(out\)连边。

这样想十分的自然。

xyx

首先通过SAM上倍增求出每个子串的节点，

然后看怎么建图：

首先我们把每个SAM中的节点的\(link\)连到自己，

并且按照长度把这个节点对应的所有的子串排序，

每个B连向下一个B，同时连向所有下一个B之前的A。

再把每个A连向所有支配的B即可。

再跑个dp就行了。

wyj

类似xyx，

但是他是把同一个SAM上节点的A串和B串分开考虑了，

导致需要对于每一个B串二分出长度大于等于它的第一个A。

复杂度就多了一个\(log\)。

hhr

类似xyx。（一模一样？

csl

首先构造SA。然后我们把每一个A串拎出来，

构建一棵树，其包含了所有的子串，并且如果\(u\)到\(v\)有一条边，则要满足\(u\)是\(v\)的前缀。

但这棵树的节点数太多了，我们只需要包含A的，就引出了新的概念——虚树。

（吐槽：这玩意折腾死我了。。。

所谓虚树，是在树上找一个不连通的块，使得：

其包含所有的A串和所有A串两两的LCA们。

这就要求我们在线性时间内求出A串两两的LCA。

注意到两串的LCA就是他们的LCP，那么我们这样做：

先把所有的A串按照字典序排（其实就是按照他们在原树上的\(dfn\)

然后把连续两个A串的LCP加进去也作为A串

这个是一个结论一样的东西？？？可能就是最后用到的LCA们最多就是这里的吧。（删掉

emmm其实这\(^{TM}\)就是虚树的基本操作啊。。。

再用单调栈存现在的“有用”的点，

扫一遍排序过后的A串，每次一直弹栈直到栈顶是当前节点的祖先（当前节点的前缀

那么就可以确定连这条边。

Ah...怎么这么难啊

再把所有的B连到自己所属的节点就好辣

yjz

首先构造SA，然后每一个子串可以用\([l,r]\)来一一表示，代表这个子串在排名\([l,r]\)的前缀中出现。

这样就可以按照字典序把A串都排好（所属后缀的\(rank\)，长度）

那么B串是其前缀的A串们肯定是连续的。

感性理解一下：假设连续两个A串有一个\(lcp\)，那一段A串的\(lcp\)就是中间两两的\(lcp\)的\(min\)。

所以假如现在我们的某个B串是\(A_i\)的前缀，那么

那么我们就要从B串的一个点连向A串的一个区间

所以线段树优化建图（orz​

再跑个\(dp\)就。。行了？？？

总结一下这题就是各种奇怪操作优化建图？？？