使用C编程语言实现AVL树

本文将介绍AVL树及其插入、删除操作，最后使用C编程语言实现基于平衡因子（balance factor）的AVL树。

什么是AVL树？

AVL树（AVL tree）是前苏联计算机科学家Adelson-Velsky和Landis发明的一种自平衡二叉查找树（self-balancing binary search tree）。它有两大属性，一个是继承自二叉查找树的查找属性（binary search property），另一个是AVL树特有的平衡因子属性（balance factor property）。

节点的平衡因子是节点两个子树的高度差

    BalanceFactor(N) = Height(RightSubtree(N)) – Height(LeftSubtree(N))

AVL树限定任意节点两个子树的高度差最大为1

    BalanceFactor(N) ∈ {–1,0,+1}

由于AVL树是一种二叉查找树，所以它只能维持大体平衡，无法达到完全平衡。AVL树通过限定任意节点两个子树的高度差最大为1来保证二叉查找树的大体平衡，如果高度差大于1，则需要重新平衡。

AVL树只能大体平衡，2-3-4树通过可变的元素数量可完全平衡。

       1

     /   \           (1)

    5     9         /   \

         /        (5)   (6 9)

        6     

    AVL树           2-3-4树

插入、删除操作

插入、删除操作后需要更新所有被影响的节点的平衡因子，稍作观察就能发现这些节点一定在从根节点到被插入、删除节点的路径上，这些节点都是被插入、删除节点的祖先节点（ancestors）。如何更新这些节点的平衡因子？如果更新后的平衡因子为+2或-2，如何重新平衡（rebalance）？

为了更好的描述，我们把根节点到被插入、删除节点的路径称作查找路径（search path），这条路径贯穿被插入、删除节点的所有祖先节点。

插入6的查找路径为1,9

      1

     / \

    5   9   

删除6的查找路径为1,9            

      1

     / \

    5   9

       /

      6

所以插入、删除操作只会影响查找路径上节点的平衡因子，而不会影响别的节点的平衡因子。

AVL树的插入操作

插入操作可能会导致查找路径上节点的高度增大，所以需要更新查找路径上节点的平衡因子，如果更新平衡因子后节点违背了平衡因子属性，则需要通过旋转进行重新平衡。过程如下：

从被插入节点的父节点开始，按照查找路径原路返回直到根节点，返回过程中更新当前节点的平衡因子，如果发现当前节点更新后的平衡因子绝对值大于1，则使用旋转操作进行重新平衡；
达到以下任一条件则完成所有操作。

a. 节点高度保持不变；

b. 旋转操作（该节点必然恢复原高度）；

c. 到达根节点。

AVL树的删除操作

与插入操作类似，删除操作可能会导致查找路径上节点的高度减小，所以需要更新查找路径上节点的平衡因子，如果更新平衡因子后节点违背了平衡因子属性，则需要通过旋转进行重新平衡。过程如下：

从被删除节点的父节点开始，按照查找路径原路返回，返回过程中更新当前节点的平衡因子，如果发现当前节点更新后的平衡因子绝对值大于1，则使用旋转操作进行重新平衡；
达到以下任一条件则完成更新和修复操作。

a. 节点高度保持不变；

b. 旋转操作且旋转后节点恢复原高度；

c. 到达根节点。

综上，AVL树的插入操作最多只需要一次旋转操作就能重新平衡，而删除操作则可能需要多次旋转操作才能重新平衡。

AVL树的实现

经过较长时间的学习和分析，使用C编程语言实现了一个完整的基于平衡因子的AVL树，源码链接为https://github.com/xieqing/avl-tree，该实现通过了较完整的测试用例的验证，README.md对AVL树的实现做了详尽的分析，另外，通过一个简单的使用示例avl_example.c，您可以快速了解它的使用方法。

欢迎大家指正。

/*

 * Copyright (c) 2019 xieqing. https://github.com/xieqing

 * May be freely redistributed, but copyright notice must be retained.

 */