【题解】CIRU - The area of the union of circles [SP8073] \ 圆的面积并 [Bzoj2178]

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【题目描述】

给出 $n$ 个圆的圆心坐标 $(x,y)$ 和半径 $r$，求它们覆盖的总面积。

【输入】

第一行一个整数 $n$，表示一共有 $n$ 个圆，接下来 $n$ 行每行三个整数 $x,y,r$ 。

【输出】

答案保留三位小数。

【样例】

样例输入：

3

0 0 1

0 0 1

100 100 1

样例输出：

6.283

【数据范围】

$100 \%:$ $1 \leqslant n \leqslant 1000,$ $|x|,|y| \leqslant 1000,$ $0 \leqslant r \leqslant 1000$

【分析】

【计算几何全家桶】

圆面积并的板题。

【前置芝士】

自适应辛普森积分 （乱搞）。

虽然不知道积分是什么东西，但老师说只要背了公式而且会用它求面积就可以了：$ans(l,r)=\frac{(r-l)(F_l+4F_{mid}+F_r)}{6}$ 。

当计算平面图形面积时，$F_Y$ 就是直线 $y=Y$ 穿过图形的部分的长度。

例：一个底为 $a$，高为 $h$ 的三角形面积可表示为： $S=\frac{h*(a+4*\frac{a}{2}+0)}{6}=\frac{a*h}{2}$ 。如下图，$r-l=h,F_l=a,F_{mid}=\frac{a}{2},F_r=0$：

（另外，当计算立体图形体积时，$F_Y$ 就是平面 $z=Y$ 穿过图形的部分的面积。例：一个半径为 $r$ 的球体积可表示为： $V=\frac{2r*(0+4\pi r^2+0)}{6}=\frac{4\pi r^3}{3}$ ）

但并不是所有的图形都可以这样子做，比如在求圆面积时就会出问题（设半径为 $r$）： $S=\frac{2r*(0+4*2r+0)}{6}=\frac{4 r^2}{3} \neq \pi r^2$ 。

这时候就需要用到自适应辛普森法：分别用公式出 $ans(l,mid)$ 和 $ans(mid,r)$，若二者之和与 $ans(l,r)$ 的差值小于 $eps$，则返回 $ans(l,r)$，否则递归求解 $(l,mid)$ 与 $(mid,r)$ 再加起来。

代码如下：

#define LD double

#define Rd register LD

inline LD F(Rd Y){return ???;}//视情况而定

inline LD Simpson(Rd L,Rd R){return (R-L)*(F(L)+4.0*F((L+R)*0.5)+F(R))/6.0;}//套公式

inline LD sakura(Rd L,Rd R,Rd now){//求解ans(L,R)

    Rd mid=(L+R)*0.5,FL=Simpson(L,mid),FR=Simpson(mid,R);//先用公式求左右两边

    if(!dcmp(now-FL-FR))return now;//满足精度要求

    return sakura(L,mid,FL)+sakura(mid,R,FR);//递归求解并求和

}

【问题求解】

回到这道题，求出最靠边上的两端点 $Y_{min},Y_{max}$ 直接递归求解即可，至于上面的 $F$ 函数可以暴力枚举所有圆求交弦，然后对其排序做线段覆盖。

注意精度要调好，$\text{Bzoj}$ 需要 $1e\!-\!13$，$\text{SPOJ}$ 需要 $1e\!-\!7$ 。

时间复杂度： $O( nlogn \times$ 玄学 $)$ 。其中 “玄学” 为 $F$ 函数调用次数。

【优化】

只是单纯地求解 $(Y_{min},Y_{max})$ 会被 $\text{Bzoj}$ 的【变态毒瘤数据】卡掉，$\text{SPOJ}$ 也过不了。

为什么？

如果有 $1$ 个孤零零的圆在最上面，$999$ 个圆堆在最下面，最后算出来误差会非常大，所以要分段处理，即将所有圆划分为若干个联通块分别求解（可以将每个圆的上下端点连起来跑线段覆盖），这样子误差会小一些。

此时【变态毒瘤数据】成功地算了出来，但花了 $30s$，考虑对 $F$ 函数进行记忆化，再经过一波卡常，本机 $10.6s$，交上去刚好卡过。

【再优化】

那么，连【八聚氧】都救不了的 $\text{SPOJ}$ 又该怎么办呢？

提前预处理出大圆包含小圆的情况（把被包含的小圆删掉），大大减小 $nlogn$ 部分的消耗。

呼呼，终于过了

【Code】

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<map>

#define LD double

#define LL long long

#define Re register int

#define Rd register LD

#define Vector Point

using namespace std;

const int N=2003;

const LD eps=1e-13;

int n,m;map<LD,LD>vis;

inline int dcmp(Rd a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}

struct Point{

    LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}

    inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}

};

struct Segment{

    LD L,R;Segment(LD l=0,LD r=0){L=l,R=r;}

    inline bool operator<(Segment O)const{return L!=O.L?L<O.L:R<O.R;}

}Seg[N];

struct Circle{

    LD x,y,r,L,R,D,U;

    inline void in(){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&r),L=x-r,R=x+r,D=y-r,U=y+r;}

    inline bool operator<(Circle B)const{return D<B.D;}//按下端点排序

}C[N],C_[N];

inline bool cmp(Circle A,Circle B){return A.r<B.r;}//按半径排序

inline LD dis(Circle A,Circle B){return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));}

inline LD SS(Rd x){return x*x;}

inline LD F(Rd Y){

    if(vis[Y])return vis[Y];//记忆化

    Re t=0;Rd ans=0;

    for(Re i=1;i<=n;++i)

        if(dcmp(Y-C[i].D)>0&&dcmp(Y-C[i].U)<0){//如果直线穿过了该圆

            Rd tmp=sqrt(SS(C[i].r)-SS(C[i].y-Y));//勾股定理求交弦

            if(dcmp(tmp)>0)Seg[++t]=Segment(C[i].x-tmp,C[i].x+tmp);

        }

    if(!t)return 0.0;

    sort(Seg+1,Seg+t+1);

    for(Re i=1,j;i<=t;i=j+1){

        Rd L=Seg[i].L,R=Seg[i].R;j=i;

        while(j<t&&Seg[j+1].L<=R)++j,R=max(R,Seg[j].R);

        ans+=R-L;

    }

    return vis[Y]=ans;

}

inline LD Simpson(Rd L,Rd R){return (R-L)*(F(L)+4.0*F((L+R)*0.5)+F(R))/6.0;}//【辛普森公式】

inline LD sakura(Rd L,Rd R,Rd now){//【自适应】

    Rd mid=(L+R)*0.5,FL=Simpson(L,mid),FR=Simpson(mid,R);

    if(!dcmp(now-FL-FR))return now;

    return sakura(L,mid,FL)+sakura(mid,R,FR);

}

LD ans;

int main(){

//  freopen("789.txt","r",stdin);

    scanf("%d",&m);

    for(Re i=1;i<=m;++i)C_[i].in();

    sort(C_+1,C_+m+1,cmp),C[++n]=C_[m];//按半径大小排序

    for(Re i=m-1;i>=1;--i){//【大圆吃小圆】从大圆向小圆枚举

        Re flag=1;

        for(Re j=1;j<=n&&flag;++j)

            if(dcmp(C_[i].r-C[j].r+dis(C_[i],C[j]))<=0)flag=0;//小r+大r <= dis，则说明小圆C_[i]被包含了在了C[j]以内

        if(flag)C[++n]=C_[i];//C_[i]没有被大圆包含

    }

    sort(C+1,C+n+1);

    for(Re i=1,j;i<=n;i=j+1){//【分段处理】每个联通块单独处理

        Rd D=C[i].D,U=C[i].U;j=i;

        while(j<n&&C[j+1].D<=U)++j,U=max(U,C[j].U);

        ans+=sakura(D,U,Simpson(D,U));

    }

    printf("%.3lf",ans);

}