LevelDB 源码解析之 Random 随机数

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C 语言中伪随机数生成算法实际上是采用了"线性同余法"：

\(seed = (seed * A + C ) \% M\)

其中 \(A,C,M\) 都是常数（一般会取质数）。当 \(C=0\) 时，叫做乘同余法。

假设定义随机数函数

void rand(int &seed)
{
	seed = (seed * A + C ) % M;
}

每次调用 rand 函数都会产生一个随机值赋值给 seed，实际上 rand 函数生成的随机数是一个递推序列，初值为 seed。所以当初始的 seed 相同时，得到的递推序列也会相同。我们称 seed 为随机数种子，称 rand 生成的随机数为伪随机数，一个伪随机数常用的原则就是 M 尽可能的大。

在 LevelDB 的随机数类 Random 类中，\(A=16807, M=2147483647, C=0\)：

explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) {
  // Avoid bad seeds.
  if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) {
    seed_ = 1;
  }
}

uint32_t Next() {
  static const uint32_t M = 2147483647L;  // 2^31-1
  static const uint64_t A = 16807;        // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0
  // We are computing
  //       seed_ = (seed_ * A) % M,    where M = 2^31-1
  //
  // seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values
  // will be zero or M respectively.  For all other values, seed_ will end
  // up cycling through every number in [1,M-1]
  uint64_t product = seed_ * A;

  // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x.
  seed_ = static_cast<uint32_t>((product >> 31) + (product & M));

  // The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to
  // repeat.  mod == M is not possible; using > allows the faster
  // sign-bit-based test.
  if (seed_ > M) {
    seed_ -= M;
  }
  return seed_;
}

源码中利用 (product >> 31) + (product & M) 来代替 product % M，主要是为了避免 64 位除法。

下面证明 \(product\ \%\ M = (product >> 31) + (product\ \&\ M)\)：

\[\begin{align}

&将\ product\ 分为高\ 33\ 位和低\ 31\ 位 \\
\\
&令高\ 33\ 位的值为\ H，低\ 31\ 位的值为\ L \\
\\
&则\ product = H << 31 + L = H \cdot 2^{31}+L = H \cdot M + L \\
\\
&因为\ product = seed \cdot A， 且\ seed\ 和\ A\ 都小于\ M，故\ H\ 必小于\ M \\
\\
&等式左边 = product \%\ M = (H \cdot M+L) \%\ M = (H + L) \%\ M \\
\\
&等式右边 = (product >> 31) + (product\ \&\ M) = (H \cdot 2^{31}+L)>>31 + L = H + L \\
\end{align}
\]

此时考虑下方的 if 语句：

if (seed_ > M) {
  seed_ -= M;
}

由于 \(H\) 和 \(L\) 都小于 \(M\)，故 \(H+M<2L\)。

经过语句，等式右边也等于 \((H + L) \%\ M\) 了。

综上，等式成立