【学习笔记】Polya定理

笔者经多番周折终于看懂了$\text{Burnside}$定理和$\text{Polya}$定理，特来写一篇学习笔记来记录一下。

群定义

定义：群$(G,·)$是一个集合与一个运算·所定义的群。它所需要满足的性质是：

结合律：对于任意$a,b,c\in G,a·b·c=a·(b·c).$
封闭性：对于任意$a,b\in G,a·b\in G.$
单位元：存在$e\in G,a·e=a.$
逆元：$\forall a\in G,\exists a'\in G,a·a'=a'·a=e.$

举一个例子：对于正方形旋转组成的群（旋转度数分别为$0,90,180,270$），旋转操作就是群中的元素，单位元就是旋转度数为$0$的操作。结合律显然满足，我们看剩下两个条件：

封闭性：先旋转$90'$再旋转$270'$就相当于旋转$360'$即旋转$0'\in G.$容易证明对于每一种操作都存在这种封闭性。
逆元：对于旋转$90'$的操作我们可以再旋转$270'$将它转换为单位元$0'.$对其它所有元素均存在逆元。

所以这个由旋转操作构成的集合（操作是连续旋转）可以被证明是一个群。

子群：即一个群$H\in G.$

注意，群中的元素不一定满足交换律，所以才有了左陪集和右陪集的区别：

左陪集对于一个子群$H\in G,$一个元素$g\in G,gH$称之为$H$的一个左陪集。$gH=\forall h\in H,g·h.$
右陪集对于一个子群$H\in G,$一个元素$g\in G,Hg$称之为$H$的一个右陪集。$Hg=\forall h\in H,h·g.$

陪集的一些性质（只讨论右陪集，左陪集同理）

\[\forall g\in G,|H|=|Hg|
\]

证明：

$\forall h_1\in H,h_2\in H,h_1·g\not =h_2·g$故得证。

\[\forall g\in G,g\in Hg
\]

证明：

由于$H$是群，所以包含单位元使得$g\in H.$

\[Hg=H\Longleftrightarrow g\in H
\]

证明：

群$H$具有封闭性。

\[Ha=Hb\Longleftrightarrow a·b^{-1}\in H
\]

证明：

$Ha=Hb\to Ha·b^{-1}=H\to a·b^{-1}\in H$

$a·b^{-1}\in H\to Ha·b^{-1}=H\to Ha=Hb$

\[Ha\cap Hb\not =\oslash \to Ha=Hb
\]

证明：

这条性质意味着$H$的陪集要么不相交要么相等。

设$c\in Ha,c\in Hb\to \exists h_1,h_2\in H,h_1·a=h_2·b=c\to a·b^{-1}=h_2·h_1^{-1}\in H\to Ha=Hb.$

群作用

我们说一个群$G$作用于集合$X$，当且仅当：

给定一个函数$\varphi(v,x)$（其中，$v\in G,x\in X$）有：

\[\varphi(e,x)=x,\varphi(a,\varphi(b,x))=\varphi(a·b,x)
\]

有上述函数时才有群$G$作用于$X.$

置换

用双行表示法来表示一个置换：

\[\rho=\tbinom{1,2,3,4,5}{2,1,3,4,5}
\]

表示一个由序列$1,2,3,4,5$变为$2,1,3,4,5$的一个置换。大体就是用第一个元素代替第二个元素...以此类推。

一个长度为$n$的不同置换数为$n!.$

关于运算：$\rho(a)=(a_{\rho_1},a_{\rho_2}...)$

可以证明，这些置换组成了群。

轨道-稳定子定理

定义：

轨道$G(x)$是$x$通过$G$中所有元素作用可以达到的所有元素的集合。$g\in G,g(x)$是$x$通过$g$这个元素作用可以达到的所有元素。

稳定子$G^x=\left \{ g|g\in G,g(x)=x \right \}$ 即群$G$中所有 $g(x)=x$ 的 $g$ 的集合。

定理：$|G^x|*|G(x)|=|G|$

可以得到，每一个状态$x$一定只属于一个轨道。我们把$g(x)=x$的点看做一个轨道的结尾，这个定理就很好证明了。

Burnside 引理

定义$G$是一个置换群且作用于集合$X,$若$\exists x,y\in X,\exists f\in G,f(x)=y,$则$x,y$属于一个等价类。

注意！这里$f(x)$不是一个函数，而是元素$x$在$f$作用下得到的元素。

则不同等价类的数量为：

\[Ans=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}X^g
\]

$X^g=|G^x|.$

文字描述：$X$ 在群 $G$ 作用下的等价类总数等于每一个 $g$ 作用于 $X$ 的不动点的算数平均值。

证明待补。

关于这道题：群中元素就是$\left \{ TurnZeroPlace,TurnOnePlace,TurnTwoPlace...Turn(N-1)Place \right \},X$是所有置换所形成的环。

对于旋转$k$个而言，其不动点等价于存在一个长度为$a$的循环节使得$a|k.$又因为必然$a|n$（转$n$格必然回到原始状态），所以改写判断条件为存在一个长度为$\gcd(k,n)$的循环节。而前$\gcd(k,n)$个元素可以任意填（染色，不是排列），所以答案就是$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{\gcd(k,n)}$

枚举$\gcd$莫比乌斯反演得到$Ans=\sum_{d|n} n^{d-1}\varphi(n/d)$可以$O(\sqrt{n})$计算。

模板题链接

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mod=1e9+7;

inline int add(int x,int y){return (x+y)%mod;}

inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}

inline int qpow(int a,int b){

	int res=1;

	while(b){

		if(b&1)res=mul(res,a);

		a=mul(a,a);b>>=1;

	}

	return res;

}

int calc(int x){

	int ans=x;

	for(int i=2;i*i<=x;++i){

		if(x%i)continue;

		ans-=ans/i;

		while(x%i==0)x/=i;

	}

	if(x!=1)ans-=ans/x;

	return  ans;

}

int T,n;

int main(){

	scanf("%d",&T);

	while(T--){

		scanf("%d",&n);

		int ans=0;

		for(int i=1;i*i<=n;++i){

			if(n%i)continue;

			ans=add(ans,mul(qpow(n,i-1),calc(n/i)));

			if(i*i==n)continue;

			ans=add(ans,mul(qpow(n,n/i-1),calc(i)));

		}

		printf("%d\n",ans);

	}

	return 0;

}