CF习题集三

CF习题集三

一、CF8C Looking for Order

题目描述

\(Lena\)喜欢秩序井然的生活。一天，她要去上大学了。突然，她发现整个房间乱糟糟的——她的手提包里的物品都散落在了地上。她想把所有的物品都放回她的手提包。但是，这里有一点问题：她一次最多只能拿两个物品，她也不能移动她的手提包。并且，因为她爱整洁的习惯，如果她拿起了一个物品，她也不能将它放在其他地方，除非放回她的手提包。

\(Lena\)把她的房间划分为了一个平面直角坐标系。现在Lena给你她的手提包和每个散落的物品的坐标（当然，一开始的时候她就和手提包站在一个地方）。她从坐标 \((x1,y1)\)走到坐标 \((x2,y2)\) 需要用 \((x1-x2)^2+(y1-y2)^2\) 单位的时间。现在，\(Lena\)将告诉你她的房间的情况，请你为\(Lena\)找到一个拾起每个物品的顺序，使她拾起所有物品所需的总时间最小。当然，\(Lena\)最后需要返回她的手提包。

分析

\(n\)的范围比较小，因此我们考虑状压\(DP\)

我们设\(f[i]\)为当前拾取的物品状态为\(i\)时的最小花费

那么我们就可以写出如下的状态转移方程

f[i|(1<<(j-1))|(1<<(k-1))]=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0];

如果单纯地这样写而不加任何优化是会\(T\)掉的

实际上，对于两个物品，我们先拿走哪一个或者后拿走哪一个对结果没有影响

因此，我们可以人为地规定一个拿取的顺序

即对于一个\(j\)一旦它匹配成功，我们就跳出循环，不再匹配

而去匹配下一个\(j\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=25;
int f[1<<maxn],jl[1<<maxn];
int jlx[maxn],jly[maxn],dis[maxn][maxn];
int ans[1<<maxn],cnt;
int main(){
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&jlx[0],&jly[0]);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&jlx[i],&jly[i]);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            dis[i][j]=dis[j][i]=(jlx[i]-jlx[j])*(jlx[i]-jlx[j])+(jly[i]-jly[j])*(jly[i]-jly[j]);
        }
    }
    f[0]=0;
    int mmax=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<=mmax;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i&(1<<(j-1))) continue;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                if(i&(1<<(k-1))) continue;
                int now=i|(1<<(j-1))|(1<<(k-1));
                if(f[now]<=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0]) continue;
                f[now]=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0];
                jl[now]=i;
            }
            break;
        }
    }
    printf("%d\n",f[mmax]);
    while(mmax){
        printf("0 ");
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if((mmax^jl[mmax])&(1<<((i-1)))) printf("%d ",i);
        }
        mmax=jl[mmax];
    }
    printf("0 ");
    return 0;
}

二、CF510D Fox And Jumping

题目描述

给出 \(n\) 张卡片，分别有 \(l_i\)​ 和 \(c_i\)​。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 \(c_i\)​ 的钱来购买卡片 \(i\)，从此以后可以向左或向右跳 \(l_i\)​ 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 \(-1\)。

分析

我们先只考虑购买了两个卡片的情况

我们设这两个卡片跳跃的距离分别为\(a,b\)

其中第一张卡片使用了\(x\)次，第二张卡片使用了\(y\)次

那么跳跃的距离\(l=ax+by\)

要使方程有解，则必有\(l mod \gcd(a,b)=0\)

要使\(l\)取到任意整数，则\(\gcd(a,b)=1\)

因此，原题就变成了在\(n\)个数中选取几个数，使得这些数的最大公因数为\(1\)

求所有方案中花费最小的方案

一种可行的做法是设\(f[i]\)表示选择一些数并且最大公约数为\(i\)时的最小花费

利用\(map\)进行转移

但是现在我们考虑怎么用暴搜过掉这个题

最初始的暴搜应该比较好定义

我们传四个参数，分别是当前已经选到了第几个数、当前已经选了几个数、当前选择的所有数的价值之和、当前所有数的最大公因数

这样的暴搜不加任何剪枝会\(T\)到飞起

因此我们考虑怎么去优化

剪枝一、如果当前价值已经大于所选价值，那么就没有必要继续向下选

剪枝二、如果当前选择的数量大于9，那么就没有必要继续向下选

因为如果有\(10\)个不同的质因子，此时数会很大，已经超过了\(l[i]\)的最大值

剪枝三、提前将-1的情况预处理出来

剪枝四、如果当前枚举的\(l[i]\)是之前枚举的公因数的倍数，那么当前的\(l[i]\)一定不会使之后的公因数变小，选\(l[i]\)无意义

有了上述四个剪枝，我们已经可以跑过\(64\)个点，但是在最后一个点\(T\)了

因此，我们再加最后一个信仰剪枝，即如果当前运行次数过多，直接输出当前最优解，同时杀死程序

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005,maxk=21;
int s[maxn],l[maxn],n;
int gcd(int aa,int bb){
	if(bb==0) return aa;
	return gcd(bb,aa%bb);
}
int ans=0x3f3f3f3f;
int tim=0;
void dfs(int now,int cnt,int tot,int gys){
	tim++;
	if(tim>2e7){
		if(ans==0x3f3f3f3f) printf("-1\n");
		else printf("%d\n",ans);
		exit(0);
	}
	if(gys==1) ans=min(ans,tot);
	if(tot>=ans || cnt>9 || now>n) return;
	for(int i=now;i<=n;i++){
		if(gys==0) dfs(i+1,cnt+1,tot+s[i],l[i]);
		else if(l[i]%gys!=0) dfs(i+1,cnt+1,tot+s[i],gcd(gys,l[i]));
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&l[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&s[i]);
	}
	int jud=l[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		jud=gcd(jud,l[i]);
	}
	if(jud!=1){
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	dfs(1,0,0,0);
	if(ans!=0x3f3f3f3f)printf("%d\n",ans);
	else printf("-1\n");
	return 0;
}

三、CF985E Pencils and Boxes

题目描述

给出\(n\)个整数\(a_1,a_2,...,a_n\),现在需要对其进行分组，使其满足以下条件：

每个数都必须恰好分入一组中

每一组中必须至少包含\(k\)个数

在每一组中，整数的权值之差的绝对值不能超过\(d\)。即当\(a_i,a_j\)​在同一组时，需要满足\(|a_i+a_j| \leq d\)

请判断是否存在满足条件的分组方案，若有请输出"YES",否则输出"NO"。

数据范围：\(1 \leq k \leq n \leq 5 * 10^5 , 0 \leq d \leq 10^9\)

分析

这道题我们要用到\(bool\)类型的\(DP\)

为了方便处理，我们将所有数从小到大排一下序

我们设\(f[i]\)为当前遍历到第\(i\)个数，是否合法

其中值为\(1\)代表合法，值为\(0\)代表不合法

在转移时需要枚举每一个左端点，如果左端点的状态合法，我们再用当前的状态不断向右更新

最后如果\(f[n]\)为\(1\)，那么输出YES,否则输出NO

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
bool f[maxn];
ll a[maxn];
int main(){
    ll n,k,d;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    f[0]=1;
    ll p=1;
    for(ll i=0;i<=n;i++){
    	if(f[i]){
    		p=max(p,i+k);
    		while(p<=n && a[p]-a[i+1]<=d){
    			f[p]=1;
    			p++;
    		}
    	}
    }
    if(f[n]==0) printf("NO\n");
    else printf("YES\n");
    return 0;
}

四、CF1340B Nastya and Scoreboard

题目描述

传送门

分析

比较有意思的一道题

直接放个链接题解

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
char num[10][10]={"1110111","0010010","1011101","1011011","0111010","1101011","1101111","1010010","11111111","1111011"};
int dp[N][N];
char a[N][10];
int cal(char c[],int pos){
	int cnt=0;
	for(int i=0;i<7;++i){
		if(c[i]=='1' && num[pos][i]=='0') return -1;
		if(c[i]!=num[pos][i]) cnt++;
	}
	return cnt;
}
int main(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf(" %s",a[i]);
	for(int i=n;i>=1;--i){
		if(i==n){
			for(int j=0;j<10;++j){
				int t=cal(a[i],j);
				if(t==-1) continue;
				dp[n][t]=max(dp[n][t],j);
			}
		}
		else{
			for(int j=0;j<10;++j){
				int t=cal(a[i],j);
				if(t==-1) continue;
				for(int p=t;p<=k;++p){
					if(dp[i+1][p-t]!=-1){
						dp[i][p]=j;
					}
				}
			}
		}
	}
	if(dp[1][k]==-1){
		puts("-1");
		return 0;
	}
	int now=k;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		printf("%d",dp[i][now]);
		now-=cal(a[i],dp[i][now]);
	}
	puts("");
	return 0;
}