【计算几何】【推导】【补集转化】AtCoder Regular Contest 082 E - ConvexScore

题意：平面上给你N个点。对于一个“凸多边形点集”（凸多边形点集被定义为一个其所有点恰好能形成凸多边形的点集）而言，其对答案的贡献是2^(N个点内在该凸多边形点集形成的凸包内的点数 - 该凸多边形点集的点数)。问你N个点的所有凸多边形子点集的贡献之和是多少。

因为是2的多少次方的形式，容易发现，它其实是一种在集合内取点的方案。

于是对于N个点的任意一个子集而言，只要其凸包面积非零，它就会对答案恰好贡献1。因为你把它的凸包上的点拿出来当成一个“凸多边形点集”，把剩下的点当成一种取点方案，这样是不重复不遗漏地包含了所有“凸多边形点集”及其所有的取点方案。

于是答案从2^N中扣去所有共线（面积为零）的子集即可。

可以考虑N^2枚举点对，然后把剩下的N个点中在这条线上的数量都计算出来，假设为M，然后这条线对答案的扣除数就是2^M-M-1（要防止重复统计，不能算单点和无点的情况）。

然后全扣完以后，我们再把单点和无点的情况(N+1)从答案里扣去。

这样是O(N^3)。