洛谷P1527 [国家集训队] 矩阵乘法 [整体二分，二维树状数组]

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矩阵乘法

题目描述

给你一个N*N的矩阵，不用算矩阵乘法，但是每次询问一个子矩形的第K小数。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数N,Q，表示矩阵大小和询问组数；

接下来N行N列一共N*N个数，表示这个矩阵；

再接下来Q行每行5个数描述一个询问：x1,y1,x2,y2,k表示找到以(x1,y1)为左上角、以(x2,y2)为右下角的子矩形中的第K小数。

输出格式：

对于每组询问输出第K小的数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2
2 1
3 4
1 2 1 2 1
1 1 2 2 3

输出样例#1：

1
3

说明

矩阵中数字是10^9以内的非负整数；

20%的数据：N<=100,Q<=1000；

40%的数据：N<=300,Q<=10000；

60%的数据：N<=400,Q<=30000；

100%的数据：N<=500,Q<=60000。

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　　分析：

　　是的，这道题虽然叫矩阵乘法，但是和矩阵乘法一点关系都没有。

　　求矩阵$k$小就能想到用整体二分，不过因为是二维，所以需要用二维树状数组，然后写法需要漂亮一点，因为这题有点卡常。

　　另外，有一点需要讲一下，平常我写树状数组都是这样的：

inline void add(int pos,int x)
{
    for(; pos<=n; pos+=lowbit(pos)) c[pos]+=x;
}

　　但是在二维树状数组中就不能这么写，应该写成：

inline void add(int x,int y,int v)
{
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
    for(int j=y; j<=n; j+=lowbit(j)) c[i][j]+=v;
}

　　Code：

//It is made by HolseLee on 6th Oct 2018
//Luogu.org P1527
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=4e5+;
int n,m,cnt,c[][],q1[N],q2[N],id[N],ans[N];
struct Node {
    int x,y,v;
    Node() {}
    Node(const int _x,const int _y,const int _v):
        x(_x), y(_y), v(_v) {}
    bool operator < (const Node a) const {
        return v < a.v;
    }
}a[N];
struct Qus {
    int x1,y1,x2,y2,k;
}q[N];

inline int read()
{
    char ch=getchar(); int num =; bool flag=false;
    while( ch<'' || ch>'' ) {
        if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
    }
    while( ch>='' && ch<='' ) {
        num=num*+ch-''; ch=getchar();
    }
    return flag ? -num : num;
}

inline int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

inline void add(int x,int y,int v)
{
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
    for(int j=y; j<=n; j+=lowbit(j)) c[i][j]+=v;
}

inline int quary(int x,int y)
{
    int ret=;
    for(int i=x; i; i-=lowbit(i))
    for(int j=y; j; j-=lowbit(j)) ret+=c[i][j];
    return ret;
}

inline int get(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return quary(x2,y2)-quary(x1-,y2)-quary(x2,y1-)+quary(x1-,y1-);
}

void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if( l>r || L>R ) return;
    if( l==r ) {
        for(int i=L; i<=R; ++i) ans[id[i]]=a[l].v;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>, cnt1=, cnt2=;
    for(int i=l; i<=mid; ++i) add(a[i].x,a[i].y,);
    for(int i=L; i<=R; ++i) {
        int tmp=get(q[id[i]].x1,q[id[i]].y1,q[id[i]].x2,q[id[i]].y2);
        if( tmp>=q[id[i]].k ) q1[++cnt1]=id[i];
        else q[id[i]].k-=tmp, q2[++cnt2]=id[i];
    }
    for(int i=l; i<=mid; ++i) add(a[i].x,a[i].y,-);
    for(int i=; i<=cnt1; ++i) id[L+i-]=q1[i];
    for(int i=; i<=cnt2; ++i) id[L+cnt1+i-]=q2[i];
    solve(l,mid,L,L+cnt1-); solve(mid+,r,L+cnt1,R);
}

int main()
{
    n=read(), m=read();
    for(int i=; i<=n; ++i)
    for(int j=; j<=n; ++j){
        a[++cnt]=Node(i,j,read());
    }
    sort(a+,a+cnt+);
    for(int i=; i<=m; ++i) {
        q[i].x1=read(), q[i].y1=read(), q[i].x2=read(), q[i].y2=read();
        q[i].k=read(); id[i]=i;
    }
    solve(,cnt,,m);
    for(int i=; i<=m; ++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return ;
}