洛谷 P4706 取石子 解题报告

P4706 取石子

题目描述

现在 Yopilla 和 yww 要开始玩游戏！

他们在一条直线上标记了 \(n\) 个点，从左往右依次标号为 \(1, 2, ..., n\) 。然后在每个点上放置一些棋子，其中第 \(i\) 个点放置了 \(a_i\) 个棋子。接下来，从 Yopilla 开始操作，双方轮流操作，谁不能操作谁输。每次的操作是：当前操作方选定一个有棋子的点 \(x\) ，然后选择至少一个点 \(x\) 上的棋子，然后把这些棋子全都移动到点 \(x / prime\)上，其中 \(prime\) 是一个质数，且 \(prime \mid x\) 。

Yopilla 最初一次操作的策略是随机的：随机找到一个有棋子的点 \(x\) ，随机选择正整数个棋子 \(y\) ，随机转移到一个能转移到的点 \(z\)。所有棋子可以看作是一样的，换句话说：两种操作不同，当且仅当三元组 \((x, y, z)\) 不同。之后双方都按照最优策略来操作。

Yopilla 想要预测，他能够获胜的概率是多少，答案对 $998244353$3 取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个数 \(n\) 。

第二行 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, ..., a_n\) 。

输出格式：

输出 \(m\) 行，表示 Yopilla 能够获胜的概率对 \(998244353\) 取模。

说明

对于 \(20 \%\) 的数据，只有一个石子。

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n \le {10} ^ 6, 0 \le a_i \le {10} ^ 9\)，保证至少有一个不在一号点的石子。

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太神仙了...

如果把图建出来，我们可以按照每个数的幂的和的奇偶性构造二分图（1为偶），然后就是一个阶梯\(Nim\)问题

link

然后我们筛一下每个数的质因子个数顺便分层，然后统计一下奇层的\(SG\)

总情况很好算

然后枚举一下随机操作对\(SG\)函数的影响

具体的，枚举每一个奇层的点，然后发现这个点要变成\(SG \ xor \ a_i\)才能使对面必败，然后讨论一下这个值是给出去还是由别人给的情况。

最后算一下概率就可以了。

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Code:

#include <cstdio>
const int N=1e6+1;
int pri[N],ispri[N],is[N],num[N],cnt;
int n,a[N],SG;
#define ll long long
const ll mod=998244353;
ll win,sum;
ll qp(ll d,ll k){ll f=1;while(k){if(k&1)f=f*d%mod;d=d*d%mod,k>>=1;}return f;}
void init()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            num[i]=is[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            int x=i*pri[j];
            ispri[x]=1;
            is[x]=is[i]^1;
            if(i%pri[j]) num[x]=num[i]+1;
            else {num[x]=num[i];break;}
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",a+i);
        if(is[i]) SG^=a[i];
        (sum+=1ll*a[i]*num[i])%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(is[i])
        {
            int to=SG^a[i];
            if(a[i]>to)
                (win+=num[i])%=mod;
            else if(a[i]<to)
                for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++)
                    win+=a[i*pri[j]]>=to-a[i];
        }
    printf("%lld\n",win*qp(sum,mod-2)%mod);
    return 0;
}

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2018.12.18