【BZOJ4774】修路（动态规划，斯坦纳树）

【BZOJ4774】修路（动态规划，斯坦纳树）

题面

BZOJ

题解

先讲怎么求解最小斯坦纳树。

先明白什么是斯坦纳树。

斯坦纳树可以认为是最小生成树的一般情况。最小生成树是把所有给定点都要加入到联通块中。而斯坦纳树不一样，斯坦纳树只需要把指定点集中的所有点全部加入到联通块中，并且允许使用点集以外的点。

然而求解最小斯坦纳树是一个\(NP\)问题，所以只能状压解决。

设\(f[S][i]\)表示指定点的联通情况为\(S\)，并且当且的斯坦纳树以\(i\)为根，\(i\)可以是图上任意一个点。

考虑如何转移：

\(f[S][i]\rightarrow f[T][i]+f[S\oplus T][i],S\&T=0\)

这个转移的含义是，你以当前点为根的斯坦纳树，可以拆分为两个以当前点为根的斯坦纳树。

另外一个转移是换根：

\(f[S][i]\rightarrow f[S][j]+e[i][j]\)，其中\(e[i][j]\)是链接\(i,j\)的边的边长。

这一步你可以认为一开始没有联通\(j\)，现在我们换根，所以要把它给添加进来。

但是发现第二个转移具有后效性，所以写成\(SPFA\)的形式。

接着考虑怎么求解本题的问题，也就是最小斯坦纳森林。

设\(g[S]\)表示联通了点集\(S\)的最小斯坦纳森林。

那么，如果\(S\)中要求在一个联通块的点全部都连在了一起，那么显然它可以和一个无交集，并且同时满足要求连接在一起的点都连在一起的话，这两个集合显然可以取并集转移。

即\(g[S]=g[T]+g[S\oplus T]\)，条件是\(T\)和\(S\oplus T\)这两个集合中如果包含了某个点，就必定包含要求连接在一起的点。

这样子就做完了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 10100
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,m,D;
struct Line{int v,next,w;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,int w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
int f[1<<8][MAX],g[1<<8];
bool vis[MAX];
queue<int> Q;
void SPFA(int *f)
{
	while(!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			if(f[e[i].v]>f[u]+e[i].w)
			{
				f[e[i].v]=f[u]+e[i].w;
				if(!vis[e[i].v])Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=true;
			}
		vis[u]=false;
	}
}
bool check(int s){return (s&((1<<D)-1))==(s>>D);}
int main()
{
	n=read();m=read();D=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		Add(u,v,w);Add(v,u,w);
	}
	memset(f,63,sizeof(f));memset(g,63,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=D;++i)f[1<<(i-1)][i]=f[1<<(D+i-1)][n-i+1]=0;
	int S=1<<(D<<1);
	for(int i=0;i<S;++i)
	{
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			for(int k=i&(i-1);k;k=(k-1)&i)
				f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j]+f[i^k][j]);
			if(f[i][j]<=1e9)Q.push(j),vis[j]=true;
		}
		SPFA(f[i]);
		for(int j=1;j<=n;++j)g[i]=min(g[i],f[i][j]);
	}
	for(int i=0;i<S;++i)
		for(int t=(i-1)&i;t;t=(t-1)&i)
			if(check(t)&&check(i^t))
				g[i]=min(g[i],g[t]+g[i^t]);
	printf("%d\n",g[S-1]<=1e9?g[S-1]:-1);
	return 0;
}