51nod1149 Pi的递推式

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 640

F(x) = 1 (0 <= x < 4)

F(x) = F(x - 1) + F(x - pi) (4 <= x)

Pi = 3.1415926535.....

现在给出一个N，求F(N)。由于结果巨大，只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

 

Input

输入一个整数N(1 <= N <= 10^6)

Output

输出F(N) Mod 10^9 + 7

Input示例

5

Output示例

3

数学问题 递推 组合数

实数下标的递推，甚至不能记忆化（吧？），递归显然不可取。

可以先考虑一般的情况。

比如Fibonacci数列的递推式是 $ F[n]=F[n-1]+F[n-2] $

众所周知，它的组合数意义可以解释为任选走一级或走两级，从0级上到n级台阶的方案数。（然而蒟蒻博主就不知道）

由此得出F[n]的另一个计算方式是枚举走两级走了i次，然后 $F[n]=\sum_{i=0}^{n/2} C(n-2i+i,i) $

这个算法可以推广到一般的递推式。

那么在本题中，可以类似地枚举走1和走pi的次数，累计从0走到大于n-4的位置的方案数。

由于枚举走1或枚举走pi时，另一个走法的次数上限不同（第一次到达>n-4的位置时，到达的具体位置不同），所以要分类讨论。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const double pi=acos(-1.0);
 const int mxn=;
 const int mod=1e9+;
 int read(){
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>='' && ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int ksm(int a,int k){
     int res=;
     while(k){
         if(k&)res=(LL)res*a%mod;
         a=(LL)a*a%mod;
         k>>=;
     }
     return res;
 }
 int fac[mxn],inv[mxn];
 void init(int ed){
     fac[]=fac[]=;inv[]=inv[]=;
     for(int i=;i<=ed;i++)
         fac[i]=(LL)fac[i-]*i%mod;
     inv[ed]=ksm(fac[ed],mod-);
     for(int i=ed-;i;i--)
         inv[i]=(LL)inv[i+]*(i+)%mod;
     return;
 }
 inline int C(int n,int m){
     if(n<m)return ;
     return (LL)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
 }
 int n;
 int ans=;
 int main(){
     int i,j;
     n=read();
     if(n<){
         printf("1\n");return ;
     }
     init(n);
     for(i=;i<=n-;i++){//
         int tmp=(int)(((double)n--i)/pi);
 //        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
         (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
     }
     for(i=;i*pi<=n-;i++){//pi
         int tmp=(int)(n--i*pi);
 //        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
         (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }