题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc036/tasks/agc036_c

题解

终于有时间补agc036的题了。

这题其实不难的来着……我太菜了考场上没想出来

首先转化一下题目: 一个序列可以被按题目的操作方式生成当且仅当它长度为\(N\), 总和为\(3M\), 且最大数不超过\(2M\), 奇数的个数不超过\(M\).

必要性显然,充分性归纳易证。

然后考虑怎么计数: 先不考虑第二个条件,定义\(f(n,m,k)\)表示长度为\(n\)总和为\(m\)奇数不超过\(k\)个的方案数,那么枚举奇数的个数\(i\), 剩下的偶数和为\(m-1\), 有\(f(n,m,k)=\sum^{k}_{i\equiv m(\mod 2)}{n\choose i}{\frac{m-i}{2}+n-1\choose n-1}\).

考虑第二个条件,补集转化,最大数大于\(2M\)意味着剩下的所有数和小于\(M\), 那么不要把和式写出来然后无脑推式子!固定下最大的数的位置\(1\),给第一个数减去\(2M\) (这是个偶数所以不影响奇数那个条件),就是要求\(N\)个数和为\(M\), 第一个数大于\(0\),一共有不超过\(M\)个奇数的方案数。这个因为有奇数个数的限制所以枚举很麻烦,那就再补集转化!转化为\((N-1)\)个数和为\(M\)且奇数不超过\(M\)个。

因此最后答案就是\(f(N,3M,M)-N(f(N,M,M)-f(N-1,M,M))\).

时间复杂度\(O(N+M)\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#define llong long long
using namespace std; inline int read()
{
int x=0; bool f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
if(f) return x;
return -x;
} const int N = 2e6;
const int P = 998244353;
llong fact[N+3],finv[N+3]; llong quickpow(llong x,llong y)
{
llong cur = x,ret = 1ll;
for(int i=0; y; i++)
{
if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;}
cur = cur*cur%P;
}
return ret;
}
llong comb(llong x,llong y) {return x<0||y<0||x<y ? 0ll : fact[x]*finv[y]%P*finv[x-y]%P;} llong calc(llong n,llong m,llong k)
{
llong ret = 0ll;
for(int i=0; i<=k; i++)
{
if((m-i)&1) continue;
llong tmp = comb(n,i)*comb(((m-i)>>1)+n-1,n-1)%P;
ret = (ret+tmp)%P;
}
// printf("calc %lld %lld %lld=%lld\n",n,m,k,ret);
return ret;
} int n,m; int main()
{
fact[0] = 1ll; for(int i=1; i<=N; i++) fact[i] = fact[i-1]*i%P;
finv[N] = quickpow(fact[N],P-2); for(int i=N-1; i>=0; i--) finv[i] = finv[i+1]*(i+1)%P;
scanf("%d%d",&n,&m);
llong ans = calc(n,3*m,m);
ans = (ans-n*(calc(n,m,m)-calc(n-1,m,m)+P)%P+P)%P;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

AtCoder AGC036C GP 2 (组合计数)的更多相关文章

  1. bzoj 2281 [Sdoi2011]黑白棋(博弈+组合计数)

    黑白棋(game) [问题描述] 小A和小B又想到了一个新的游戏. 这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色. 最左边是白色棋子,最右边是黑色棋子,相邻的棋子颜色 ...

  2. BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 [分治FFT 组合计数 | 多项式求逆]

    4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林 ...

  3. BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 [FFT 组合计数 容斥原理]

    4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林 ...

  4. 【BZOJ5491】[HNOI2019]多边形(模拟,组合计数)

    [HNOI2019]多边形(模拟,组合计数) 题面 洛谷 题解 突然特别想骂人,本来我考场现切了的,结果WA了几个点,刚刚拿代码一看有个地方忘记取模了. 首先发现终止态一定是所有点都向\(n\)连边( ...

  5. [总结]数论和组合计数类数学相关(定理&证明&板子)

    0 写在前面 0.0 前言 由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. ...

  6. 【BZOJ5323】[JXOI2018]游戏(组合计数,线性筛)

    [BZOJ5323][JXOI2018]游戏(组合计数,线性筛) 题面 BZOJ 洛谷 题解 显然要考虑的位置只有那些在\([l,r]\)中不存在任意一个约数的数. 假设这样的数有\(x\)个,那么剩 ...

  7. 【BZOJ5305】[HAOI2018]苹果树(组合计数)

    [BZOJ5305][HAOI2018]苹果树(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 考虑对于每条边计算贡献.每条边的贡献是\(size*(n-size)\). 对于某个点\(u\),如果它有一棵大 ...

  8. 【BZOJ3142】[HNOI2013]数列(组合计数)

    [BZOJ3142][HNOI2013]数列(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 唯一考虑的就是把一段值给分配给\(k-1\)天,假设这\(k-1\)天分配好了,第\(i\)天是\(a_i\),假 ...

  9. 【BZOJ4005】[JLOI2015] 骗我呢(容斥,组合计数)

    [BZOJ4005][JLOI2015] 骗我呢(容斥,组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 lalaxu #include<iostream> using namespace std; ...

随机推荐

  1. python基础数据类型和初级应用

    1.整数: int -- 计算和比较 2 -- 10 推位 8421 20 21 -- 2**7 10 - 2 bit_length 二进制的有效占用位数 # 123 # 计算和比较 # 14 0 # ...

  2. leecode刷题(26)-- 用栈实现队列

    leecode刷题(26)-- 用栈实现队列 用栈实现队列 使用栈实现队列的下列操作: push(x) -- 将一个元素放入队列的尾部. pop() -- 从队列首部移除元素. peek() -- 返 ...

  3. java中代码块和构造方法以及普通方法的代码执行顺序总结

    说实话,这块真的不好理解啊~都怪jvm  执行顺序搞这么复杂,哼╭(╯^╰)╮ 但是  我们能怎么办,只能研究呗!!! !:首先,毫无置疑的,静态代码块在加载时就执行了,所以肯定是最先执行的.... ...

  4. 分布式的几件小事(二)dubbo的工作原理

    1.dubbo的工作原理 ①整体设计 图例说明: 图中左边淡蓝背景的为服务消费方使用的接口,右边淡绿色背景的为服务提供方使用的接口,位于中轴线上的为双方都用到的接口. 图中从下至上分为十层,各层均为单 ...

  5. 11 Scrapy框架之递归解析和post请求

    一.递归爬取解析多页页面数据 - 需求:将糗事百科所有页码的作者和段子内容数据进行爬取切持久化存储 - 需求分析:每一个页面对应一个url,则scrapy工程需要对每一个页码对应的url依次发起请求, ...

  6. springboot-异步线程调用

    启动类:添加@EnableAsync注解 @SpringBootApplication @EnableAsync public class Application{ public static voi ...

  7. ueditor 后端配置项没有正常加载,上传插件不能正常使用 UTF8 PHP

    修改config.json 文件,用DW软件打开,修改好后,保存 若用记事本打开的话修改后保存,无法加载

  8. springboot中使用拦截器

    5.1 回顾SpringMVC使用拦截器步骤 自定义拦截器类,实现HandlerInterceptor接口 注册拦截器类 5.2 Spring Boot使用拦截器步骤 5.2.1        按照S ...

  9. js事件总汇

    Mouse 事件 描述onClick                     鼠标点击事件,多用在某个对象控制的范围内的鼠标点击 onDblClick                鼠标双击事件 on ...

  10. Zookeeper集群快速搭建

    Zookeeper集群快速搭建 1.cd /usr/local/zookeeper/conf(如在192.168.212.101服务器) mv zoo_sample.cfg zoo.cfg 修改con ...