bzoj1044题解

【题意分析】

　　本题等价于如下描述：

　　有一个长度为n的正整数序列，要求将其分解成m+1个子串，使最大子串和最小。求这个最大子串和及对应的分解方案数。

【解题思路】

　　第一问二分+贪心即可。容易证明对于确定的最大子串和，分解子串使子串个数最小是一个具有最优子结构的问题。复杂度O(nlog₂Σl_i)。

　　第二问DP即可。先预处理前缀和S_i=∑l_j(j∈[1,i])。

　　然后考虑状态：f[i][j]表示前i个元素分解成j个子串的合法方案数。

　　易得转移方程：f[i][j]=Σf[k][j-1](k∈[j-1,i)且S_i-S_k≤ans)

　　但直接DP会TLE（时间复杂度O(mn²)）+MLE（空间复杂度O(mn)），于是考虑优化：

•空间复杂度：因为DP向量f[][j]只跟f[][j-1]有关，可以用滚动数组优化，空间复杂度O(n)；

•时间复杂度：固定j时，随着i的递增，可行的最小k是单调不减的，所以可以用单调队列优化，时间复杂度O(mn)；

　　最后答案即为∑f[n][j](j∈[1,m+1])。总复杂度O(n(m+log₂Σl_i))。

【参考程序】

 #include <bits/stdc++.h>
 #define range(i,c,o) for(register int i=(c);i<(o);++i)
 #define dange(i,c,o) for(register int i=(c);i>(o);--i)

 #define __debug
 #ifdef __debug
     #define Function(type) type
     #define Procedure      void
 #else
     #define Function(type) __attribute__((optimize("-O2"))) inline type
     #define Procedure      __attribute__((optimize("-O2"))) inline void
 #endif

 using namespace std;

 static const int AwD=;
 Function(int&) inc(int&x,const int&y)
 {
     return (x+=y)>=AwD?x-=AwD:x;
 }
 Function(int&) dec(int&x,const int&y)
 {
     return (x-=y)<   ?x+=AwD:x;
 }

 static int n,m;
 int L[],S[]={},las[],f[];

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m); int l=,r=;
     range(i,,n+) scanf("%d",L+i),l=max(l,L[i]),r+=L[i];
     while(l<r)
     {
         int mid=l+r>>,cnt=,sum=;
         range(i,,n+) if((sum+=L[i])>mid) sum=L[i],++cnt;
         cnt>m?l=mid+:r=mid;
     }
     printf("%d ",r);
     range(i,,n+) if((S[i]=S[i-]+L[i])<=r) las[i]=;
     int ans=las[n];
     range(i,,m+)
     {
         int h=,sum=; range(j,,i) sum+=las[j],f[j]=;
         range(j,i,n+)
         {
             for(;S[j]-S[h]>r;dec(sum,las[h++]));
             f[j]=sum,inc(sum,las[j]);
         }
         memcpy(las,f,sizeof las),inc(ans,f[n]);
     }
     return printf("%d\n",ans),;
 }