KMP解决最小循环节问题

# 10035. 「一本通 2.1 练习 1」Power Strings

【题目描述】

给定若干个长度 $\le 10^6$​​ 的字符串，询问每个字符串最多是由多少个相同的子字符串重复连接而成的。如：ababab 则最多有 333 个 ab 连接而成。

【算法】

1、kmp第一步求出字符串的特征向量。若n%(n-nxt[n])==0&&nxt[n]（n是字符串长度）则循环节个数为n/(n-nxt[n])，更一般地对每一个位置 $i$ 若n%(n-nxt[n])==0&&nxt[n]，则前i个字符循环。

2、也可以用字符串hash，枚举循环节长度 $l$ + $O(1)$ 判定。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nxt[1000100];
char s[1000100];
int main() {
    while(~scanf("%s",s+1)&&s[1]!='.') {
        int n=strlen(s+1);
        nxt[1]=0;
        for(int i=2,j=0;i<=n;i++) {
            while(j>0&&(j==n||s[i]!=s[j+1])) j=nxt[j];
            if(s[i]==s[j+1]) j++;
            nxt[i]=j;
        }
        if(n%(n-nxt[n])==0&&nxt[n]) printf("%d\n",n/(n-nxt[n]));
        else puts("1");
    }
    return 0;
}

# 10045. 「一本通 2.2 练习 1」Radio Transmission

【题目描述】

给你一个字符串，它是由某个字符串不断自我连接形成的。但是这个字符串是不确定的，现在只想知道它的最短长度是多少。

【算法】

由于该字符串可能不完全，考虑若非循环串我们将其补全，由于是最小循环节，显然，当前串最后一个字符必然位于最后一个循环节内。同时最后一个字符在匹配串和主串中和补全的最后一个字符相对位置不变，于是 $n-nxt[n]$ 也即最小循环节长度。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int nxt[1000100];
char s[1000100];
int main() {
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    nxt[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=n;i++) {
        while(j>0&&(j==n||s[i]!=s[j+1])) j=nxt[j];
        if(s[i]==s[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
    int val;
    for(int k=nxt[n];k;k=nxt[k])
        if(k) val=n-k;
    if(n%val) printf("%d\n",n/val+1);
    else printf("%d\n",n/val);
    return 0;
}

# 10046. 「一本通 2.2 练习 2」OKR-Periods of Words

【题目描述】

串是有限个小写字符的序列，特别的，一个空序列也可以是一个串。一个串 P 是串 A 的前缀，当且仅当存在串 B，使得 A = PB。如果 P≠A 并且 P 不是一个空串，那么我们说 P 是 A 的一个 proper 前缀。

定义 Q 是 A 的周期，当且仅当 Q 是 A 的一个 proper 前缀并且 A 是 QQ 的前缀（不一定要是 proper 前缀）。比如串 abab 和 ababab 都是串 abababa 的周期。串 A 的最大周期就是它最长的一个周期或者是一个空串（当 A 没有周期的时候），比如说，ababab 的最大周期是 abab。串 abc 的最大周期是空串。

给出一个串，求出它所有前缀的最大周期长度之和。

【算法】

这道题要求最大周期也就是循环节长度的最大值（原长不算，因为原长非周期）。于是我们考虑因为 $nxt[i]$ 数组记录的是离 i 最近的所能匹配的模式串位置，于是只要找到离 i 最远的能匹配的模式串位置即可。要么先计算出 $nxt[i]=j$ 的值，然后沿nxt数组一直找下去，直到为0的前一个，但是这样会T。于是我们再开一个数组f，记录离 i 最远的所能匹配的模式串位置，可以递推若 $f[j]>0则f[i]=j否则f[i]=j$。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
ll ans;
int nxt[1000100],f[1000100];
char s[1000100];
int main() {
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    nxt[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=n;i++) {
        while(j>0&&(j==n||s[i]!=s[j+1])) j=nxt[j];
        if(s[i]==s[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
        if(f[j]>0) f[i]=f[j];
        else f[i]=j;
        if(f[i]) {
            int len=i-f[i];
            if(i%len==0) ans+=(i/len-1)*len;
            else ans+=i/len*len;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}