BZOJ 4897: [Thu Summer Camp2016]成绩单 动态规划

Description

期末考试结束了，班主任L老师要将成绩单分发到每位同学手中。L老师共有n份成绩单，按照编号从1到n的顺序叠

放在桌子上，其中编号为i的成绩单分数为w_i。成绩单是按照批次发放的。发放成绩单时，L老师会从当前的一叠

成绩单中抽取连续的一段，让这些同学来领取自己的成绩单。当这批同学领取完毕后，L老师再从剩余的成绩单中

抽取连续的一段，供下一批同学领取。经过若干批次的领取后，成绩单将被全部发放到同学手中。然而，分发成绩

单是一件令人头痛的事情，一方面要照顾同学们的心理情绪，不能让分数相差太远的同学在同一批领取成绩单；另

一方面要考虑时间成本，尽量减少领取成绩单的批次数。对于一个分发成绩单的方案，我们定义其代价为：

其中，k是方案中分发成绩单的批次数，对于第i批分发的成绩单，〖max〗_i是最高分数，〖min〗_i是最低分数。

a,b是给定的评估参数。现在，请你帮助L老师找到代价最小的分发成绩单的方案，并将这个最小的代价告诉L老师

。当然，分发成绩单的批次数k是由你决定的。

Input

第一行包含一个正整数n，表示成绩单的数量。

第二行包含两个非负整数a,b，表示给定的评估参数。

第三行包含n个正整数w_i，表示第i张成绩单上的分数。

Output

仅一个正整数，表示最小的代价是多少。

这是一个非常神仙的区间 DP.
令 $g[l][r][i][j]$ 表示将区间 $[l,r]$ 删至所有权值都在 $[i,j]$ 之内的最小代价.
令 $f[l,r]$ 表示将 $[l,r]$ 区间全部删掉的最小代价.
上一次的更新更新完了 $r-1$，所以说 $g[l][r-1]$ 都是可以用于更新 $g[l][r]$ 的.
考虑新加入 $r$, 那么要分成两种情况：
1. 没有被删掉，即和权值在 $[i,j]$ 之内的连续子序列构成了一个新的序列.
2. 被删掉，即 $r$ 不会影响到任何决策.

写成状态转移:
1. $g[l][r-1][i][j]\Rightarrow g[l][r][min(i,w[r])][max(j,w[r])]$
2. $g[l][k][i][j]+f[k+1][r]\Rightarrow g[l][r][i][j]$

由于这是区间 $DP$，所以区间长度更小的已经被解决掉了，所以转移是完全合法的.
动态规划的一个小窍门就是每次可以指定什么什么东西，比如这次就指定了每次只加入右端点.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 52
#define setIO(s) freopen(s".in", "r" , stdin)
int w[N], v[N], f[N][N], g[N][N][N][N];
inline void getmin(int &a, int b)
{
    if(b < a) a = b;
}
int main()
{
    // setIO("input");
    int n, A, B, i, j, len;
    scanf("%d%d%d", &n , &A, &B), memset(f, 0x3f, sizeof(f)), memset(g, 0x3f, sizeof(g));
    for(i = 1; i <= n ; ++ i) scanf("%d", &w[i]), v[i] = w[i];
    std :: sort(v + 1, v + 1 + n);
    for(i = 1; i <= n ; ++ i)
    {
        w[i] = std :: lower_bound(v + 1, v + 1 + n, w[i]) - v;
        f[i][i] = A, g[i][i][w[i]][w[i]] = 0;
    }
    for(len = 2; len <= n ; ++ len)
    {
        int l, r, k;
        for(l = 1; l + len - 1 <= n ; ++ l)
        {
            r = l + len - 1;
            for(i = 1; i <= n ; ++ i)
            {
                for(j = i; j <= n ; ++ j)
                    getmin( g[l][r][std :: min(i, w[r])][std :: max(j, w[r])], g[l][r - 1][i][j]);
            }
            for(k = l; k < r ; ++ k)
            {
                for(i = 1; i <= n ; ++ i)
                    for(j = i; j <= n ; ++ j)
                            getmin(g[l][r][i][j], g[l][k][i][j] + f[k + 1][r]);
            }
            for(i = 1; i <= n ; ++ i)
            {
                for(j = i; j <= n ; ++ j)
                    getmin(f[l][r], g[l][r][i][j] + A + B * (v[j] - v[i]) * (v[j] - v[i]));
            }
        }
    }
    printf("%d\n", f[1][n]);
    return 0;
}