CF652F 题解

题意

传送门

在一个长度为 \(m\) 的圆环上有 \(n\) 只初始位置互不相同的蚂蚁，每只蚂蚁的速度都为 \(1\)，初始方向为顺时针或逆时针；两只运动方向不同的蚂蚁相遇时会调转方向，问 \(t\) 时间后每只蚂蚁的位置。

\(2 \le n \le 3 \times 10^5,2 \le m \le 10^9,0 \le t \le 10^{18}\)。

题解

首先在一条直线上考虑这个问题。不难发现所有最终位置是容易确定的。但各蚂蚁的最终位置却不好求。

注意到重要的性质：蚂蚁的相对位置不改变。于是易得。

但在圆环上，只能保证蚂蚁的相对位置与开始循环同构。故不能用上述方法做。

不妨这样思考：每只蚂蚁携带一个电子屏，开始时第 \(i\) 只显示 \(i\)。相遇时交换电子屏上的数字。设结束时第 \(i\) 只显示 \(a_i\)，则 \(a_i\) 的答案即为 \(i\) 的位置。

构造几组样例，不难得出以下性质：若蚂蚁 \(i\) 初始向右，则每相遇一次，\(a_i\) 在模 \(n\) 意义下加 \(1\)。可以感性理解一下。

于是此题解决。