Floyd算法详解

Floyd本质上使用了DP思想，我们定义\(d[k][x][y]\)为允许经过前k个节点时，节点x与节点y之间的最短路径长度，显然初始值应该为\(d[k][x][y] = +\infin (k, x, y\in[1, n])\)；对于有边直接连接的两点\(x\)和\(y\)，\(d[k][x][y] = 边长\)。

转移方程：\(f[k][x][y] = min\{f[k - 1][x][y], f[k - 1][x][k] + f[k - 1][k][y]\}\)

考虑状态压缩，显然\(f[k][x][k]\)是一定等于\(f[k - 1][x][k]\)，因为\(x\)到\(k\)的路径不可能以点\(k\)本身为中转节点；同理，\(f[k][k][y] = f[k - 1][k][y]\)。

于是，我们可以直接压缩掉第一维（\(k\)），新的状态为\(d[x][y]\)（\(x\)和\(y\)两点的最短路径长度），转移方程为\(f[x][y] = min\{f[x][y], f[x][k] + f[k][y]\}\)

代码实现：

for(int k = 1; k <= n; k++) {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
		}
	}
}

Floyd的思想其实就是“通过逐步引入新的中继节点，来计算对应节点/状态间的最优路径”。在标准的Floyd算法中，“最优路径”指的就是最短路，但实际上，Floyd算法还可以解决一些其他的问题.

比如这道题（洛谷P2888），我们根据Floyd的基本思想，就可以设计出转移方程\(f[x][y] = min\{f[x][y], max\{f[x][k] + f[k][y]\}\}\)

具体实现（其实就只改了转移方程）：

for(int k = 1; k <= n; k++) {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			d[i][j] = min(d[i][j], max(d[i][k], d[k][j]));
		}
	}
}

Updated on 2022/8/7

关于Floyd思想的另一种应用

其实Floyd还可以处理支持传递闭包的问题。

集体实现：

for(int k = 1; k <= n; k++) {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];
			// 只要d[i][k]和d[k][j]都能满足，那么d[i][j]也能满足
		}
	}
}

直接上例子：CF500B New Year Permutation

这道题中，数组中「元素的交换」就支持传递闭包，即：若a和b可以交换，b和c也可以交换，那么a和c就一定可以通过b来间接交换。所以，我们也可以使用Floyd算法来解决。