[whk] 解三元一次方程

注：本篇运用大量 Katex ，如果炸了可能是运存不够也可能还要加载一会，重进几次即可。（都2202了，居然还存在我这种会炸公式的笔记本）

前言

写这篇随笔的由来是今天学习了：

不共线三点确定二次函数的表达式

知识点没有难度，就是有时解这个三元一次方程很费劲，我在家基本用的网上的在线计算器，我想找到一个类似公式可以直接套的做法。

于是乎，我学到了用 三阶行列式（link） 这个函数来做。

基本定义

定义式可以简单写作：

\[D=\begin{vmatrix}
a_1&a_2&a_3\\
a_4&a_5&a_6\\
a_7&a_8&a_9
\end{vmatrix}\]

这里计算它的值可以用 对角线法 ,实际上可以假想把前两列移动到行列式后边：

\[D=\begin{vmatrix}
a_1&a_2&a_3&\color{orange}{a_1}&\color{orange}{a_2}\\
a_4&a_5&a_6&\color{orange}{a_4}&\color{orange}{a_5}\\
a_7&a_8&a_9&\color{orange}{a_7}&\color{orange}{a_8}
\end{vmatrix}\]

这样就可以定义计算：在同一个长度为 3 的对角线上的数，属于“捺”的各乘积的和减去属于“撇”的各乘积的和，即：

\[D=(a_1a_5a_9+a_2a_6\color{orange}{a_7}+a_3\color{orange}{a_4a_8})-(a_3a_5a_7+\color{orange}{a_1}a_6a_8+\color{orange}{a_2a_4}a_9)
\]

一般情况

好了，对于已知三个\((x,y)\) 的 \(y=ax^2+bx+c\) ，代入得：

\[\begin{cases}
x_1^2a+x_1b+c=y_1
\\x_2^2a+x_2b+c=y_2
\\x_3^2a+x_3b+c=y_3
\end{cases}\]

将 \(a,b,c\) 已知的系数带入行列式得：

\[D=\begin{vmatrix}
x_1^2&x_1&1\\
x_2^2&x_2&1\\
x_3^2&x_3&1
\end{vmatrix}\]

并且，可以把答案合并到一个行列式中得：

\[D_{ans}=\begin{vmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3
\end{vmatrix}\]

计算方法就是将 \(D_{ans}\) 从左至右（对应 \(a,b,c\)）替换 \(D\) 中的一列，即：

\[D_a=\begin{vmatrix}
y_1&x_1&1\\
y_2&x_2&1\\
y_3&x_3&1
\end{vmatrix}~~~~~D_b=\begin{vmatrix}
x_1^2&y_1&1\\
x_2^2&y_2&1\\
x_3^2&y_3&1
\end{vmatrix}~~~~~D_c=\begin{vmatrix}
x_1^2&x_1&y_1\\
x_2^2&x_2&y_2\\
x_3^2&x_3&y_3
\end{vmatrix}\]

最后，答案公式就是：

\[a=\dfrac{D_a}{D},
b=\dfrac{D_b}{D},
c=\dfrac{D_c}{D}
(D\not = 0)\]

实际例子

就拿书上的例1：已知三点坐标 \((1,-3),(-1,-5),(3,-13)\) 。则方程为：

\[\begin{cases}
a+b+c=3
\\a-b+c=-5
\\9a+3b+c=-13
\end{cases}\]

可以分别得到：

\[D=\begin{vmatrix}
1&1&1\\
1&-1&1\\
9&3&1
\end{vmatrix}=16~~~~~D_{ans}=\begin{vmatrix}
3\\
-5\\
-13
\end{vmatrix}\]

代入得：

\[D_a=\begin{vmatrix}
3&1&1\\
-5&-1&1\\
-13&3&1
\end{vmatrix}=-48~~~~~D_b=\begin{vmatrix}
1&3&1\\
1&-5&1\\
9&-13&1
\end{vmatrix}=64~~~~~D_c=\begin{vmatrix}
1&1&3\\
1&-1&-5\\
9&3&-13
\end{vmatrix}=32\]

解得：

\[\begin{cases}
a=\dfrac{-48}{16}=-3
\\b=\dfrac{64}{16}=4
\\c=\dfrac{32}{16}=2
\end{cases}~~~~~\Rightarrow~~~~~y=-3x^2+4x+2\]