HDU 4483 Lattice triangle（欧拉函数）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4483

题意：给出一个(n+1)*(n+1)的格子。在这个格子中存在多少个三角形？

思路：反着想，所有情况减去不是三角形的。下面计算不是三角形的。

（1）我们用C(n,m)表示组合数。考虑共线，一共有C((n+1)*(n+1),3)种情况。然后，要减去共线的情况。首先，三个点在同一行或者同一列，这种情况有2*(n+1)*C(n+1,3)；最后就是斜着共线的情况；

（2）对于斜着共线的情况，我们可以枚举两个端点，然后看这两个端点之间有多少个点。我们发现，我们枚举两个端点时其实就是枚举一个小矩形的两个相对的顶点，我们知道，设矩形长宽为x，y，那么矩形对角线上有Gcd(x,y)+1个点，除去两个端点，中间有Gcd(x,y)-1个点。所以此次枚举需要减去的三角形个数为(Gcd(x,y)-1)*2。为啥乘以2呢？因为矩形的另外一个对角线也是相同的。接着，我们发现，这样的三角形一共有(n+1-x)*(n+1-y)个，所以枚举x、y时需要减去的总数为:(Gcd(x,y)-1)*(n+1-x)*(n+1-y)*2，因此，我们可以这样计算斜线共线的个数：

这个复杂度是O(n^2)的。下面我们优化这个计算过程。我们现在直接枚举i和j的Gcd值，设为k，即Gcd(i,j)=k，那么Gcd(i/k,j/k)=1，令a=i/k,b=j/k，那么对于当前的k我们首先看有多少组(x,y)满足Gcd(x,y)=k，也就是多少组 (x,y)满足gcd(x,y)=1,x<=a,y<=b,由于对称性，我们不妨设a<=b，那么此时(x,y)的对数就是：

其中，那个1表示(x,y)=(1,1)，后面的phi表示欧拉函数，乘以2是因为x和y的对称性，我们此时是假设的a<=b，也即x<y（注意除了开始的(1,1)后面不会有x=y 的，因为Gcd(x,y)=1），x和y是可以交换位置的。这样对于某个k我们就求出了有多少对(x,y)满足Gcd(x,y)=k。接着，我们看上面那个式子：

因为满足Gcd(x,y)=k的(x,y)的对数已经计算出来。而上面的式子中是指对于其中的某一对(x,y)计算的，我们令式子中(n+1)^2、(n+1)*K、k^2的系数分别为A、B、C，那么有：

其中phi容易计算。那么B和C怎么计算呢？对于n，若Gcd(n,m)=1，那么Gcd(n,n-m)=1。也就是与n互质的数字是成对出现的，而且和为n。所以[1,n]中与n互质的数字之和为:phi[n]/2*n。这样，就能使用phi计算出B和C了。

i64 A[N],B[N],C[N],phi[N];

void init()
{
    A[1]=C[1]=1; B[1]=2;
    int i,j;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<N;i++) if(!phi[i])
    {
        for(j=i;j<N;j+=i)
        {
            if(!phi[j]) phi[j]=j;
            phi[j]-=phi[j]/i;
        }
    }
    for(i=2;i<N;i++)
    {
        A[i]=(A[i-1]+phi[i]*2)%mod;
        B[i]=(B[i-1]+phi[i]*i*3)%mod;
        C[i]=(C[i-1]+phi[i]*i%mod*i)%mod;
    }
}

i64 n;

int C3(i64 x)
{
    if(x<=2) return 0;
    i64 a=(x-1)%mod,b=(x-2)%mod,c=166666668;
    return x%mod*a%mod*b%mod*c%mod;
}

i64 M(i64 x,i64 y,i64 z)
{
    return x*y%mod*z%mod;
}

int main()
{
    init();
    rush()
    {
        RD(n);
        i64 ans=C3((n+1)*(n+1))-2*(n+1)*C3(n+1)%mod;
        i64 temp=0;
        i64 i,k;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            k=n/i;
            temp+=(i-1)*(M(n+1,n+1,A[k])-M(n+1,i,B[k])+M(i,i,C[k]))%mod;
            temp%=mod;
        }
        ans-=temp*2;
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        PR(ans);
    }
    return 0;
}