机器学习基石的泛化理论及VC维部分整理（第六讲）

第六讲

第五讲主要讲了机器学习可能性，两个问题，（1）\(E_{in} 要和 E_{out}\) 有很接近，（2）\(E_{in}\)要足够小。

对于第一个假设，根据Hoefding's Inequality 可以得到，\( P[|E_{in} - E_{out}| > \epsilon] < 2Mexp(-2\epsilon^2N)\)

对于上述的\(M\)来说，如果 \(M < \infty\)，则当\(N\)足够大时，\(P\)会比较小，也就是坏事情出现的概率比较小，机器学习是可能的，但是当\(M = \infty\)时，就无法进行学习了。

那怎么办？考虑到or的过程中有不少重叠的部分，就从数据的角度来看到底有多少种可能的 effective Hypothesis，多少种可能的Hypothesis就是成长函数的值，Break Point的概念也就出来了，就是当\(m_{\mathcal{H}}(k) < 2^k\)，\(k\)就是Break Point。 Break Point有什么用呢？

本节引出一个新概念，Break Function，是指最小的Break Point  \(k\)，Growth Function 可能的最大值，记为\(B(N,k)\)。

当\( k = 1\)时，\( B(N,1) = 2^0 = 1\)

当\( k > N\)时，\(B(N,k) = 2^{N}\)

当\( k = N\)时，\(B(N,k) = 2^{N} - 1\)，最大的可能值

根据上述两条会得到一个矩阵的一部分数据，

重点要考虑\( k < N\)的情况，怎么算呢？ 林老师给出一个图示，在第六讲的12页-17页，

\(B(4,3)\) 可以有11个可能的Hypothesis，对于Break Point是3来说，应该只能Shattered 2个点的情况，2个点的所有情况是4，那么如果遮住\(x_{4}\)，再去重之后应该不超过\(2B(3,3)\)。

也就是说，从三个点扩展到四个点的过程中，只有部分的dichotomy被复制了，我们把这部分被复制的点的个数称为\(\alpha\)，没被复制的点的个数称为\(\beta\)。满足\(0\leq \alpha, \beta \leq B(3,3)\)。可知 \( B(3,3) \geq \alpha + \beta ,  B(4,3) = 2\alpha + \beta\) ，单独看\(\alpha\)部分，因为Break Point是 3，故任何三个都不能被Shattered，那么，如果只看\(\alpha\)部分，则，\( x_{1}, x_{2}, x_{3}\) 中任意两个都不能被Shattered，（如果可以，加上\(x_{4}\)则有3个点被Shattered）则，\(\alpha \leq B(3,2) \)，有如下三个结果：

（1） \( B(4,3) = 2\alpha + \beta\)

（2）\( B(3,3) \geq \alpha + \beta\)

（3） \(B(3,2) \geq \alpha\)

综合上面三个公式，可得：

\( B(4,3) \leq B(3,3) + B(3,2)\)

推广得：\( B(N,k) \leq B(N-1,k) + B(N-1, k-1)\)

根据数学归纳法，

\( B(N,k) \leq \sum_{i=0}^{k-1}\binom{N}{i}\)

从上面这个式子可以更为欣喜的得到，之前的概率上界是可以在多项式里的，这样当\(N\) 足够大时，出现坏事情的概率就会比较小。这样学习就会更为可行。

下面就要去求解一个上界：VC Bound

want:

\( P[ \exists h \in \mathcal{H}  s.t. |E_{in}(h) - E_{out}(h)| > \epsilon] \leq 2   m_{\mathcal{H}}(N) exp(-2\epsilon^2N)\)